Wyznacz szereg Fouriera

Granice, pochodne, całki, szeregi
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Arek97
Dopiero zaczynam
Dopiero zaczynam
Posty: 11
Rejestracja: 03 lis 2019, 17:26
Podziękowania: 7 razy

Wyznacz szereg Fouriera

Post autor: Arek97 »

Obrazek
Dzień dobry.
Czy byłby ktoś w stanie rozwiązać zad.1 dotycxące szeregu Fouriera?
Awatar użytkownika
panb
Expert
Expert
Posty: 5122
Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
Lokalizacja: Nowiny Wielkie
Podziękowania: 19 razy
Otrzymane podziękowania: 2053 razy
Płeć:

Re: Wyznacz szereg Fouriera

Post autor: panb »

\(f(x)= \frac{a_0}{2}+ \sum_{n=1}^{ \infty } \left(a_n\cos \left( \frac{2\pi n}{T}x \right)+b_n \sin\left(\frac{2\pi n}{T}x \right) \right) \), gdzie
\[T=2\pi, \,\,\, f(x)=|x|,\,\,\, x\in [-\pi, \pi]\\
a_n=\frac{2}{\pi} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(x)\cos \left( \frac{2\pi n}{T}x \right)dx, \,\, n=0, 1, 2, 3, \ldots\\
b_n=\frac{2}{\pi} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(x)\sin \left( \frac{2\pi n}{T}x \right)dx, \,\, n=1, 2, 3, \ldots\]

Ponieważ funkcja f jest parzysta, więc \(b_n=0, \,\, n=1, 2, 3, \ldots\)

\(a_0=\frac{1}{\pi} \ \int_{-\pi}^{\pi}|x|dx =\frac{1}{\pi} \ \int_{-\pi}^{0}-xdx+\frac{1}{\pi} \ \int_{0}^{\pi}xdx=\pi\\
a_1=\frac{1}{\pi} \ \int_{-\pi}^{\pi}|x|\cos x dx=-4\\
a_2=\frac{1}{\pi} \ \int_{-\pi}^{\pi}|x|\cos(2x)dx=0\\
a_3=\frac{1}{\pi} \ \int_{-\pi}^{\pi}|x|\cos(3x)dx=-\frac{4}{9}\\
a_4=0\\
a_5=\frac{1}{\pi} \ \int_{-\pi}^{\pi}|x|\cos(5x)dx=-\frac{4}{25}=-\frac{4}{5^2}\\
\ldots\\
a_0=\pi, \,\,\, a_{2n}=0, \,\,\, a_{2n-1}=-\frac{4}{(2n-1)^2} \text{ dla } n=1, 2, 3, ...\)


Zatem \(|x|= \frac{\pi}{2}-\frac{4}{\pi} \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{\cos((2n-1)x)}{(2n-1)^2} \text{ dla } x\in [-\pi, \pi]\)
ODPOWIEDZ