Pochodne funkcji oraz monotoniczność

[bla123]

Cześć, potrzebuję wskazówek z paroma przykładami. Należy obliczyć pochodną oraz wyznaczyć monotoniczność. Kłopot mam nie z liczeniem pochodnym,a z obliczaniem warunków koniecznych i wystarczających do istnienia ekstremum. Nie proszę o suche rozwiązanie, zależy mi na wytłumaczeniu.

1) f(x)= \(e^{-x}\) + \(e^{2x}\)
Pochodna wyszła mi f'(x)= \(-e^{-x}\) + \(2e^{2x}\)

I teraz zaczynają się schody. Jak to dziadostwo obliczyć? f'(x)=0?
Doszedłem do momentu ----> \(2e^{3x}\) - 1=0 --> \(e^{3x}\) = \( \frac{1}{2} \) no i utknąłem

2) f(x) = \(sinx^{2}\) +cosx
f'(x) = 2sinxcos - sinx

Przyrównałem do 0, wyszło x=0+k \(\pi \), x=\(\pi \)/3 +2k\(\pi \), x= -\(\pi \)/3 +2k\(\pi \),
I nie mogę się uporać z nierównością, aby wyznaczyć przedziały kiedy f'(x) jest większe, a kiedy mniejsze od 0.

Będę wdzięczny za pomoc

[patryk00714]

Postaraj się zapisać pochodną funkcji w postaci iloczynu wyrażeń. Wiemy bowiem, że \(a \cdot b =0 \iff a=0 \vee b=0\)

[bla123]

Rozumiem, że wskazówka tyczy 1). Myślałem nad wystawieniem \(e^{-x}\)przed nawias mamy wtedy \(e^{-x}\)(\(2e^{3x}\) - 1) = 0
e^(-x) nigdy nie będzie = 0. Więc dalej zostaje do policzenia ten nawias

[radagast]

I teraz zaczynają się schody. Jak to dziadostwo obliczyć? f'(x)=0?
Doszedłem do momentu ----> \(2e^{3x}\) - 1=0 --> \(e^{3x}\) = \( \frac{1}{2} \) no i utknąłem

\(e^{3x}=\frac{1}{2} \iff 3x=\ln\frac{1}{2} \iff 3= \frac{-\ln 2}{3} \)
tylko to Ci niewiele daje skoro masz badać monotoniczność . Należałoby raczej zbadać znak pochodnej czyli rozwiązać nierówność \(e^{-x}(2e^{3x}- 1)>0\)

[patryk00714]

Rozumiem, że wskazówka tyczy 1). Myślałem nad wystawieniem \(e^{-x}\)przed nawias mamy wtedy \(e^{-x}\)(\(2e^{3x}\) - 1) = 0
e^(-x) nigdy nie będzie = 0. Więc dalej zostaje do policzenia ten nawias

Dokładnie. Z tej postaci możesz także zbadać znak pochodnej. Wskazówka dotyczy także przykładu 2.

[korki_fizyka]

sgn y' = sgn\([e^{-x}(2e^{3x}- 1)]\) => y' < 0 <=> \( - \infty\) < x < -0,231 ^ y' > 0 <=> -0,231 < x < \( \infty\) czyli funkcja ma minimum dla \(x = -\frac{\ln 2}{3}\)
Poszukaj w internecie zeszytu 18 z serii Biblioteczka Opracowań Matematycznych, znajdziesz tam 50 pełnych przebiegów funkcji rozwiązanych krok po kroku.

[bla123]

Radagast: Chciałem załatwić ten warunek konieczny dla istnienia ekstremum, x, dla którego pochodna się zeruje.
No dobra, to rozwiązujemy tą nierówność. \(e^{-x}\) zawsze >0
(\(2e^{3x}\) - 1 > 0
(\(e^{3x}\) > 1/2
i... co teraz? Jakbyście mogli wyjaśnić jakie następują tu przekształcenia byłbym wdzięczny

[korki_fizyka]

Przecież ci napisali 4 posty wyżej, że trzeba zlogarytmować.

[bla123]

Pojawił się zapis, chciałem aby wytłumaczono te transformacje. Juz nie ważne, bo zrozumiałem.