Mając funkcję postaci $f(x,y)=x^3+y^2-6xy-48x
a) określ dziedzinę i zilustruj są graficznie
b) znajdź ekstrema lokalne tej funkcji
PROSZĘ O POMOC W ZADANIU: funkcje
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
escher
- Moderator
- Posty: 308
- Rejestracja: 26 wrz 2008, 13:41
- Podziękowania: 1 raz
- Otrzymane podziękowania: 68 razy
a) Ponieważ ta funkcja jest wielomianem, to nie ma żadnych ograniczeń na dziedzinę funkcji. Dziedziną jest cała płaszczyzna. W ramach ilustracji graficznej należy zakreskować cały rysunek 
b) Ekstremów lokalnych szukamy tam, gdzie pochodne cząstkowe się zerują. Mamy
\(\frac{\partial f}{\partial x}=3x^2-6y-48, \frac{\partial f}{\partial y}=2y-6x\)
A więc \(3x^2-6y-48=0, y=3x \Rightarrow 3x^2-18x-48=0 \Rightarrow x^2-6x-16=0\)
To równanie ma pierwiastki -2 i 8, a więc w (-2,-6) i (8,24) mogą być ekstrema lokalne.
Aby dowiedzieć się jakiego rodzaju (czy wogóle) mamy ekstremum. Liczymy macierz drugich pochodnych cząstkowych.
Ponieważ \(\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}=6x, \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}=2, \frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}=-6\), to w punkcie (-2,-6) mamy macierz \(\begin{bmatrix}-12 & -6\\ -6 & 2\end{bmatrix}\), której wyznacznik jest ujemny, więc nie ma tu ekstremum (jest punkt siodłowy).
W punkcie (8,24) macierz drugich pochodnych cząstkowych to \(\begin{bmatrix}48 & -6\\ -6 & 2\end{bmatrix}\). Jej wyznacznik jest dodatni i \(\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}>0\) więc jest w tym punkcie minimum lokalne.
escher
b) Ekstremów lokalnych szukamy tam, gdzie pochodne cząstkowe się zerują. Mamy
\(\frac{\partial f}{\partial x}=3x^2-6y-48, \frac{\partial f}{\partial y}=2y-6x\)
A więc \(3x^2-6y-48=0, y=3x \Rightarrow 3x^2-18x-48=0 \Rightarrow x^2-6x-16=0\)
To równanie ma pierwiastki -2 i 8, a więc w (-2,-6) i (8,24) mogą być ekstrema lokalne.
Aby dowiedzieć się jakiego rodzaju (czy wogóle) mamy ekstremum. Liczymy macierz drugich pochodnych cząstkowych.
Ponieważ \(\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}=6x, \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}=2, \frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}=-6\), to w punkcie (-2,-6) mamy macierz \(\begin{bmatrix}-12 & -6\\ -6 & 2\end{bmatrix}\), której wyznacznik jest ujemny, więc nie ma tu ekstremum (jest punkt siodłowy).
W punkcie (8,24) macierz drugich pochodnych cząstkowych to \(\begin{bmatrix}48 & -6\\ -6 & 2\end{bmatrix}\). Jej wyznacznik jest dodatni i \(\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}>0\) więc jest w tym punkcie minimum lokalne.
escher