obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami

[franco11]

Obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami \(2z= \sqrt{x^2+y^2}, z=3-x^2-y^2 \)

[kerajs]

Szukam przecięcia tych powierzchni (tj. stożka i paraboloidy (lecz ich znajomość nie jest potrzebna do rozwiązania zadania))
\(2z= \sqrt{3-z} \ \ \wedge 0 \le z \le 3 \ \ \ \So \ \ z= \frac{3}{4} \)
stąd obszarem całkowania jest koło ograniczone okręgiem \(x^2+y^2=\frac{9}{4}\)
\(V= \int_{ \frac{-3}{2} }^{ \frac{3}{2}} ( \int_{ -\sqrt{\frac{9}{4}-x^2} }^{\sqrt{\frac{9}{4}-x^2}}(3-x^2-y^2- \frac{1}{2} \sqrt{x^2+y^2} ) dy)dx=\\=4 \int_{ 0 }^{ \frac{3}{2}} ( \int_{ 0 }^{\sqrt{\frac{9}{4}-x^2}}(3-x^2-y^2- \frac{1}{2} \sqrt{x^2+y^2} ) dy)dx=...\)
Choć łatwiej będzie liczyć w biegunowych:
\(V= \int_{0}^{2 \pi } ( \int_{0}^{ \frac{3}{2}} (3-r^2- \frac{1}{2} \sqrt{r^2} )rdr)d \alpha =2 \pi \int_{0}^{ \frac{3}{2}} (3r-r^3- \frac{r^2}{2} )dr=...\)

[franco11]

Szukam przecięcia tych powierzchni (tj. stożka i paraboloidy (lecz ich znajomość nie jest potrzebna do rozwiązania zadania))
\(2z= \sqrt{3-z} \ \ \wedge 0 \le z \le 3 \ \ \ \So \ \ z= \frac{3}{4} \)
stąd obszarem całkowania jest koło ograniczone okręgiem \(x^2+y^2=\frac{9}{4}\)
\(V= \int_{ \frac{-3}{2} }^{ \frac{3}{2}} ( \int_{ -\sqrt{\frac{9}{4}-x^2} }^{\sqrt{\frac{9}{4}-x^2}}(3-x^2-y^2- \frac{1}{2} \sqrt{x^2+y^2} ) dy)dx=\\=4 \int_{ 0 }^{ \frac{3}{2}} ( \int_{ 0 }^{\sqrt{\frac{9}{4}-x^2}}(3-x^2-y^2- \frac{1}{2} \sqrt{x^2+y^2} ) dy)dx=...\)
Choć łatwiej będzie liczyć w biegunowych:
\(V= \int_{0}^{2 \pi } ( \int_{0}^{ \frac{3}{2}} (3-r^2- \frac{1}{2} \sqrt{r^2} )rdr)d \alpha =2 \pi \int_{0}^{ \frac{3}{2}} (3r-r^3- \frac{r^2}{2} )dr=...\)

\int_{}^{}