Objętość walca

[cela353]

W półkole o promieniu R=2 wpisano walec o największej objętości. Znaleźć wymiary tego walca.

[radagast]

W figurę płaską nie da się wpisać figury trójwymiarowej . Zatem co masz na myśli pisząc "wpisano" ?

[Galen]

Domyślam się,że w półkulę o promieniu R=2 wpisano walec...
Narysuj półkulę i walec wpisany.(podstawa walca jest kołem współśrodkowym z podstawą półkuli i ma promień r<2)
Wysokość walca h<2
Odcinek łączący środek podstawy półkuli z dowolnym punktem na brzegu górnej podstawy walca jest równy promieniowi R=2.
\(r^2+h^2=R^2\\r^2+h^2=2^2\\r^2=4-h^2\\V_{walca}=\pi r^2 h=\pi (4-h^2) h\\V_{walca}=\pi\cdot 4h-\pi\cdot h^3\)
Funkcja V(h)
\(V(h)=-\pi h^3+4 \pi h\;\;\;\;\;\;\;\;i\;\;\;\;\;h\in (0;2)\\V'(h)=-3\pi h^2+4\pi\\V'(h)=0\;\;\;\;gdy\;\;\;\;-3h^2+4=0\\h^2=\frac{4}{3}\\h=\frac{4\sqrt{3}}{3}\)
Pochodna zmienia znak z + na minus,czyli funkcja ma max.
\(r=\sqrt{4-\frac{4}{3}}=\sqrt{\frac{8}{3}}\)