Zadanie Szeregi Kryterium Porównawcze

Granice, pochodne, całki, szeregi
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Tofield
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 1
Rejestracja: 12 sie 2019, 23:55
Podziękowania: 3 razy
Płeć:

Zadanie Szeregi Kryterium Porównawcze

Post autor: Tofield » 13 sie 2019, 00:18

Z kryterium porównawczego zbadać zbieżność szeregów

\( \sum_{ n=1 }^{ \infty } \sin ( \tg \frac{1}{n} )\)

\(\sum_{ n=1 }^{ \infty } \tg \frac{ \pi }{4^n}\)

\( \sum_{ n=1 }^{ \infty } \frac{1}{n} \ln (1+ \frac{1}{x}) \)

\( \sum_{ n=2 }^{ \infty } \frac{n+1}{n^2-n} \)

Zupełnie nie mam pojęcia jak podejść do tych przykładów. Z góry dziękuje za pomoc :D

radagast
Guru
Guru
Posty: 16731
Rejestracja: 09 lis 2010, 08:38
Lokalizacja: Warszawa
Podziękowania: 25 razy
Otrzymane podziękowania: 7064 razy
Płeć:

Re: Zadanie Szeregi Kryterium Porównawcze

Post autor: radagast » 13 sie 2019, 07:55

Tofield pisze:
13 sie 2019, 00:18
Z kryterium porównawczego zbadać zbieżność szeregów

\( \sum_{ n=2 }^{ \infty } \frac{n+1}{n^2-n} \)
\( \frac{n+1}{n^2-n} \ge \frac{1}{n} \)
czyli \( \sum_{ n=2 }^{ \infty } \frac{n+1}{n^2-n} \) jest rozbieżny, bo \( \sum_{ n=2 }^{ \infty } \frac{1}{n} \) jest rozbieżny

radagast
Guru
Guru
Posty: 16731
Rejestracja: 09 lis 2010, 08:38
Lokalizacja: Warszawa
Podziękowania: 25 razy
Otrzymane podziękowania: 7064 razy
Płeć:

Re: Zadanie Szeregi Kryterium Porównawcze

Post autor: radagast » 13 sie 2019, 08:01

Tofield pisze:
13 sie 2019, 00:18
Z kryterium porównawczego zbadać zbieżność szeregów

\( \sum_{ n=1 }^{ \infty } \frac{1}{n} \ln (1+ \frac{1}{x}) \)
przypuszczam, że miało być:
\( \sum_{ n=1 }^{ \infty } \frac{1}{n} \ln (1+ \frac{1}{n}) \)
i wówczas
\( \ln (1+ \frac{1}{n}) <\frac{1}{n}\)
zatem
\( \frac{1}{n} \ln (1+ \frac{1}{n})< \frac{1}{n^2}\)
czyli \( \sum_{ n=1 }^{ \infty } \frac{1}{n} \ln (1+ \frac{1}{n}) \) jest zbieżny, bo \( \sum_{ n=1 }^{ \infty } \frac{1}{n^2} \) jest zbieżny
Tak to działa :)

octahedron
Expert
Expert
Posty: 6759
Rejestracja: 19 mar 2011, 01:22
Otrzymane podziękowania: 3032 razy
Płeć:

Re: Zadanie Szeregi Kryterium Porównawcze

Post autor: octahedron » 16 sie 2019, 23:47

\(\displaystyle{
\tg\frac{\pi}{4^n}=\frac{\sin\frac{\pi}{4^n}}{\cos\frac{\pi}{4^n}}<\frac{\frac{\pi}{4^n}}{\cos\frac{\pi}{4}}\\
\sin\left(\tg\frac{1}{n}\right)>\sin\left(\frac{1}{n}\right)>\frac{1}{2n}
}\)