Oblicz pochodną z wyk. rozwinięcia w szereg Maclaurina

[egi]

Oblicz pochodną pewnego rzędu z wykorzystaniem rozwinięcia w szereg Maclaurina.

a) \(f^{42}(0)\)=? oraz \(f(x)= \frac{3x^2}{x^2+9}+ e^{-x}\)

b) \(f^{40} (0)\)=? oraz \(f(x) = \frac{x}{3-2x^2} +cosx\)

[panb]

Należy skorzystać z następującego twierdzenia

• Jeżeli dla każdego x​ z pewnego otoczenia punktu \(x_0​\) zachodzi równość \(f(x)= \sum_{n=0}^{ \infty }c_n(x-x_0)^n\),
  to dla każdego \(n\ge 0\) zachodzi równość \[c_n= \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} \iff f^{(n)}(x_0)=c_n \cdot n!\]

Weźmy najpierw \(h(x)=e^{-x}= \sum_{n=0}^{ \infty } \frac{(-x)^n}{n!}= \sum_{n=0}^{ \infty } \frac{(-1)^n}{n!}x^n\) Zatem \[x_0=0,\,\,\, c_n= \frac{(-1)^n}{n!} \So h^{(42)}(0)=c_{42} \cdot 42!= \frac{(-1)^{42}}{42!} \cdot 42!=1\] Jak już wiemy jak to działa, to teraz pora na drugi składnik naszej funkcji.
\(g(x)= \frac{3x^2}{x^2+9}=3x^2 \cdot \frac{1}{9 \left( 1+ \frac{x^2}{9} \right) }= \frac{x^2}{3} \cdot \frac{1}{1- \left( -\frac{x^2}{9} \right) }\)
Jeśli \(\frac{x^2}{9}<1\), wyrażenie to przedstawia sumę nieskończonego szeregu geometrycznego, w którym \(a_0= \frac{x^2}{3},\,\,\, q=- \frac{x^2}{9}\) czyli szeregu \[g(x)=\sum_{n=0}^{ \infty }\frac{x^2}{3} \cdot \left( - \frac{x^2}{9}\right) ^n= \sum_{n=0}^{ \infty }(-1)^n \frac{x^{2n+2}}{3^{2n+1}}=\sum_{n=0}^{ \infty } \frac{(-1)^n}{3^{2n+1}} x^{2n+2}\] Wobec tego \(x_0=0,\,\,\,c_n= \frac{(-1)^n}{3^{2n+1}} \wedge 2n+2=42 \So n=20 \So g^{(42)}(0)=c_{20} \cdot 42!= \frac{42!}{3^{41}}\).
\[f(x)=g(x)+h(x) \So f^{(42)}(0)=g^{(42)}(0)+h^{(42)}(0)=1+ \frac{42!}{3^{41}}\]