równanie różnicowe

Granice, pochodne, całki, szeregi
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
LudwikM
Dopiero zaczynam
Dopiero zaczynam
Posty: 26
Rejestracja: 03 lut 2019, 17:11
Podziękowania: 9 razy
Płeć:

równanie różnicowe

Post autor: LudwikM » 13 cze 2019, 20:32

jak policzyć tego typu zadanie?
rozwiązać poniższe równanie różnicowe stosując metodę przewidywania
\(y(t+2)-6y(t+1)+9y(t)=36*3^t\)

kerajs
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1324
Rejestracja: 14 lis 2016, 15:38
Otrzymane podziękowania: 564 razy
Płeć:

Post autor: kerajs » 14 cze 2019, 08:43

\(r^2-6r+9=0\\
(r-3)^2=0\)

Rozwiązanie ogólne: \(y=C_13^t+C_2t3^t\)
Przewidywanie: \(y_p(t)=a3^t\) wzmacniam ze względu na rozwiązanie ogólne do \(y_p(t)=at^23^t\)
Wyliczenie stałej a:
\(y(t+1)=a(t+1)^23^{t+1}\\
y(t+2)=a(t+2)^23^{t+2}\\
(t+2)^23^{t+2}-6a(t+1)^23^{t+1}+9at^23^t=36 \cdot 3^t\\
a3^t \left[ (t^2+4t+4) \cdot 9-6(t^2+2t+1) \cdot 3+9t^2\right] =36 \cdot 3^t\\
a\left[ 9t^2+36t+36-18t^2-36t-18+9t^2\right] =36 \\
18a=38\\
a=2\)

Rozwiązanie równania: \(y=C_13^t+C_2t3^t+2t^23^t\)