forum.zadania.info

cześć, muszę obliczyć transformaty ale kompletnie nie wiem jak to zrobić , proszę o pomoc
a)\(Z \left((-4)^{n+2}cos \frac{(n+2) \pi }{2}\right\}\)
b) \(Z({(n-1)n*3^{n-3}}\))
c)\(Z^{-1}[ \frac{2}{z^2+9}]\)
d) \(Z^{-1}[ \frac{z}{z^2+2z-3}]\)

najpierw przyjrzyjmy się ciągowi \(x_n=(-4)^{n+2}\cos \frac{(n+2)\pi}{2}\\
x_0=4^2 \cdot \cos \pi=-4^2\\
x_1=(-4)^3 \cdot 0=0\\
x_2=4^4 \cdot \cos2\pi=4^4\\
x_3=0\\
x_4=4^6 \cdot \cos 3\pi=-4^6\\
\ldots\\
x_{2n}=(-1)^{n+1}4^{2n+2}(-16)^{n+1} \text{ dla } n=0,1,2, ...\)

Przejdźmy teraz do transformaty
\(X(z)= \sum_{n=0}^{ \infty } (-4)^{n+2}\cos \frac{(n+2)\pi}{2} z^{-n}=\sum_{n=0}^{ \infty } x_{2n}z^{-2n}= \sum_{n=0}^{ \infty } (-16)^{n+1}z^{-2n}\\
X(z)=-16 \cdot \sum_{n=0}^{ \infty }(-16)^n \cdot (z^{-2})^n=-16 \sum_{n=0}^{ \infty } \left(-16z^{-2} \right)^n\)
Szereg występujący w tym wyrażeniu to szereg geometryczny o ilorazie \(q=-16z^{-2}\), który
jest zbieżny gdy \(\frac{16}{z^2}<1 \So |z|>4\) i wtedy
Odp.: \(X(z)=-16 \cdot \frac{1}{1+16z^{-2}}= \frac{-16z^2}{16+z^2}\) jest szukaną transformatą.

b. Najpierw fakt (za Wolframem): \(\left[\left( 3z^{-1}\right)^n \right] ''=3^nn(n+1)z^{-(n+2)}\)
Oraz fakt (bez Wolframa): \(\sum_{n=0}^{ \infty } \left( 3z^{-1}\right)^n = \frac{1}{1-3z^{-1}}= \frac{z}{z-3}\) dla |z|>3

Teraz operacja na transformacie: \(X(z)= \sum_{n=0}^{ \infty }n(n-1)3^{n-3}z^{-n}= \frac{1}{9} \sum_{n=2}^{ \infty }n(n-1)3^{n-1}z^{-n} = \\ \begin{vmatrix}\text{zmiana zmiennej}\\ k:=n-1\\ n:=k+1\\-n:=-k-1\end{vmatrix} = \frac{1}{9} \sum_{k=1}^{ \infty }k(k+1)3^kz^{-k-1}= \frac{z}{9} \sum_{k=1}^{ \infty }k(k+1)3^kz^{-k-2}\)

Zatem dla |z|>3, mamy
\(X(z)= \frac{z}{9} \sum_{n=1}^{ \infty }3^nn(n+1)z^{-(n+2)}=\frac{z}{9} \sum_{n=0}^{ \infty }3^nn(n+1)z^{-(n+2)}\\
X(z)= \frac{z}{9} \sum_{n=0}^{ \infty } \left[\left( 3z^{-1}\right)^n \right] ''= \frac{z}{9} \left[ \sum_{n=0}^{ \infty } \left( 3z^{-1}\right)^n \right] ''= \frac{z}{9} \left( \frac{z}{z-3} \right)''= \frac{2z}{3(z-3)^3}\)

Czyli szukana transformata to \[X(z)=\frac{2z}{3(z-3)^3} \text{ dla } |z|>3\]