transformaty

Granice, pochodne, całki, szeregi
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Aguś56
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 4
Rejestracja: 13 cze 2019, 18:40
Płeć:

transformaty

Post autor: Aguś56 » 13 cze 2019, 18:47

cześć, muszę obliczyć transformaty ale kompletnie nie wiem jak to zrobić , proszę o pomoc
a)\(Z \left((-4)^{n+2}cos \frac{(n+2) \pi }{2}\right\}\)
b) \(Z({(n-1)n*3^{n-3}}\))
c)\(Z^{-1}[ \frac{2}{z^2+9}]\)
d) \(Z^{-1}[ \frac{z}{z^2+2z-3}]\)

Awatar użytkownika
panb
Expert
Expert
Posty: 3138
Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
Lokalizacja: Nowiny Wielkie
Otrzymane podziękowania: 1066 razy
Płeć:

Post autor: panb » 14 cze 2019, 14:52

  1. najpierw przyjrzyjmy się ciągowi \(x_n=(-4)^{n+2}\cos \frac{(n+2)\pi}{2}\\
    x_0=4^2 \cdot \cos \pi=-4^2\\
    x_1=(-4)^3 \cdot 0=0\\
    x_2=4^4 \cdot \cos2\pi=4^4\\
    x_3=0\\
    x_4=4^6 \cdot \cos 3\pi=-4^6\\
    \ldots\\
    x_{2n}=(-1)^{n+1}4^{2n+2}(-16)^{n+1} \text{ dla } n=0,1,2, ...\)


    Przejdźmy teraz do transformaty
    \(X(z)= \sum_{n=0}^{ \infty } (-4)^{n+2}\cos \frac{(n+2)\pi}{2} z^{-n}=\sum_{n=0}^{ \infty } x_{2n}z^{-2n}= \sum_{n=0}^{ \infty } (-16)^{n+1}z^{-2n}\\
    X(z)=-16 \cdot \sum_{n=0}^{ \infty }(-16)^n \cdot (z^{-2})^n=-16 \sum_{n=0}^{ \infty } \left(-16z^{-2} \right)^n\)

    Szereg występujący w tym wyrażeniu to szereg geometryczny o ilorazie \(q=-16z^{-2}\), który
    jest zbieżny gdy \(\frac{16}{z^2}<1 \So |z|>4\) i wtedy
    Odp.: \(X(z)=-16 \cdot \frac{1}{1+16z^{-2}}= \frac{-16z^2}{16+z^2}\) jest szukaną transformatą.

Awatar użytkownika
panb
Expert
Expert
Posty: 3138
Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
Lokalizacja: Nowiny Wielkie
Otrzymane podziękowania: 1066 razy
Płeć:

Post autor: panb » 14 cze 2019, 16:04

  • b. Najpierw fakt (za Wolframem): \(\left[\left( 3z^{-1}\right)^n \right] ''=3^nn(n+1)z^{-(n+2)}\)
    Oraz fakt (bez Wolframa): \(\sum_{n=0}^{ \infty } \left( 3z^{-1}\right)^n = \frac{1}{1-3z^{-1}}= \frac{z}{z-3}\) dla |z|>3

    Teraz operacja na transformacie: \(X(z)= \sum_{n=0}^{ \infty }n(n-1)3^{n-3}z^{-n}= \frac{1}{9} \sum_{n=2}^{ \infty }n(n-1)3^{n-1}z^{-n} = \\ \begin{vmatrix}\text{zmiana zmiennej}\\ k:=n-1\\ n:=k+1\\-n:=-k-1\end{vmatrix} = \frac{1}{9} \sum_{k=1}^{ \infty }k(k+1)3^kz^{-k-1}= \frac{z}{9} \sum_{k=1}^{ \infty }k(k+1)3^kz^{-k-2}\)

    Zatem dla |z|>3, mamy
    \(X(z)= \frac{z}{9} \sum_{n=1}^{ \infty }3^nn(n+1)z^{-(n+2)}=\frac{z}{9} \sum_{n=0}^{ \infty }3^nn(n+1)z^{-(n+2)}\\
    X(z)= \frac{z}{9} \sum_{n=0}^{ \infty } \left[\left( 3z^{-1}\right)^n \right] ''= \frac{z}{9} \left[ \sum_{n=0}^{ \infty } \left( 3z^{-1}\right)^n \right] ''= \frac{z}{9} \left( \frac{z}{z-3} \right)''= \frac{2z}{3(z-3)^3}\)


    Czyli szukana transformata to \[X(z)=\frac{2z}{3(z-3)^3} \text{ dla } |z|>3\]