podać rozwiązania przewidziane dla wszystkich prawych stron

[lolipop692]

o co chodzi w tym zadaniu?
Podać rozwiązania przewidziane dla wszystkich prawych stron, dalsze obliczenia dokonać tylko dla jednej wybranej

\(y^v-y^{IV}-y'''+y''= \begin{cases}2e^{-x}\\xe^x\\x^2+2x\\2e^x-3\\(x^2+1)e^{-x}\\sin(2x)\\xsin(2x)+3x\\3 \end{cases}\)

[kerajs]

To jest po prostu 8 zadań, a chodzi głównie o przećwiczenie metody przewidywania.
Gdyby zignorować rozwiązanie ogólne równania jednorodnego to całkę szczególną przewidywałbym tak:
\(y_{s1}=Ae^{-x} \\
y_{s2}=(Ax+B)e^{x} \\
y_{s3}=Ax^2+Bx+C \\
y_{s4}=Ae^{x}+B \\
y_{s5}=(Ax^2+Bx+C)e^{-x} \\
y_{s6}=A\sin 2x+B\cos 2x \\
y_{s7}=Ax\sin 2x+Bx\cos 2x+C\sin 2x+D\cos 2x +Ex+F \\
y_{s8}=A\)
Jednak nie jest to dobre podejście, gdyż należy uwzględnić wpływ rozwiązania ogólnego równania jednorodnego:
\(r^5-r^4-r^3+r^2=0\\
r^2(r^3-r^2-r+1)=0\\
r^2(r-1)^2(r+1)=0\\
y_o=C_1+C_2x+C_3e^x+C_4xe^x+C_5e^{-x}\)

Wiesz, jakie naprawdę powinno się przewidywać całki szczególne?

[lolipop692]

nie bardzo

[kerajs]

\(y_{s1}=xAe^{-x} \\
y_{s2}=x^2(Ax+B)e^{x} \\
y_{s3}=x^2(Ax^2+Bx+C) \\
y_{s4}=x^2Ae^{x}+x^2B \\
y_{s5}=x(Ax^2+Bx+C)e^{-x} \\
y_{s6}=A\sin 2x+B\cos 2x \\
y_{s7}=Ax\sin 2x+Bx\cos 2x+C\sin 2x+D\cos 2x +x^2(Ex+F) \\
y_{s8}=x^2A\)