rozwiązać równanie liniowe

Granice, pochodne, całki, szeregi
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
LudwikM
Dopiero zaczynam
Dopiero zaczynam
Posty: 29
Rejestracja: 03 lut 2019, 17:11
Podziękowania: 11 razy
Płeć:

rozwiązać równanie liniowe

Post autor: LudwikM » 13 cze 2019, 16:01

rozwiązać równanie liniowe
a) \(\frac{dy}{dx}-y=-2e^{-x}\)

Awatar użytkownika
panb
Expert
Expert
Posty: 3152
Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
Lokalizacja: Nowiny Wielkie
Otrzymane podziękowania: 1072 razy
Płeć:

Post autor: panb » 13 cze 2019, 16:08

Jakieś metody wskazane?

Awatar użytkownika
panb
Expert
Expert
Posty: 3152
Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
Lokalizacja: Nowiny Wielkie
Otrzymane podziękowania: 1072 razy
Płeć:

Post autor: panb » 13 cze 2019, 16:20

Najpierw rozwiązuje się równanie jednorodne: \(\frac{dy}{dx} -y=0 \iff \frac{dy}{y} =dx \So y=Ce^x\)

Teraz uzmienniamy stałą C=C(x)\(\So \frac{dy}{dx} =C'e^x+Ce^x\), a nasze równanie przyjmuje postać
\(C'e^x+Ce^x-Ce^x=-2e^{-x} \iff C'e^x=-2e^{-x}\\
C'(x)=-2e^{-2x} \So C(x)=\int -2e^{-2x} dx=e^{-2x}+c\)


Teraz wstawiamy to do wzoru na y:
\(y=Ce^x= \left( e^{-2x}+c\right)e^x=ce^x+e^{-x}\)

Sprawdzenie:
\(y=ce^x+e^{-x} \So \frac{dy}{dx}=y'=ce^x-e^{-x}\\
\frac{dy}{dx}-y=ce^x-e^{-x}- \left( ce^x+e^{-x}\right)=-2e^{-x}\)


Wszystko się zgadza, więc
  • Odp.: rozwiązaniem równania \(\frac{dy}{dx} -y=-2e^{-x}\) jest funkcja \(y=ce^x+e^{-x}\)

LudwikM
Dopiero zaczynam
Dopiero zaczynam
Posty: 29
Rejestracja: 03 lut 2019, 17:11
Podziękowania: 11 razy
Płeć:

Post autor: LudwikM » 13 cze 2019, 16:31

nie ma określonych metod, a w takim przypadku \(\frac{dy}{dx}- \frac{y}{x}= xe^x\) z równania jednorodnego wychodzi mi ln|y|=ln|x|+c
to y=x+c??

Awatar użytkownika
panb
Expert
Expert
Posty: 3152
Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
Lokalizacja: Nowiny Wielkie
Otrzymane podziękowania: 1072 razy
Płeć:

Post autor: panb » 14 cze 2019, 11:44

Nie. \(\ln x+\ln C=\ln Cx\)

Zawsze rób sprawdzenie w razie wątpliwości:

  • Gdyby było \(y=x+c \So y'=1 \wedge y'- \frac{y}{x}=1- \frac{x+c}{x}=- \frac{c}{x}\), a miało być zero.
    A gdy weźmiemy \(y=Cx \So y'=C \wedge y'- \frac{y}{x}=C- \frac{Cx}{x}=0\) tak, jak miało być.


:)