Całka podwójna

Granice, pochodne, całki, szeregi
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
kalafiorowa123
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 2
Rejestracja: 06 cze 2019, 21:15
Płeć:

Całka podwójna

Post autor: kalafiorowa123 » 06 cze 2019, 21:20

Cześć
Potrzebuję pomocy przy rozwiązaniu poniższej całki podwójnej. Jeśli jest tu ktoś, dla kogo takie zadanie nie sprawia problemu to prosiłabym o pomoc
Obrazek

Awatar użytkownika
panb
Expert
Expert
Posty: 3138
Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
Lokalizacja: Nowiny Wielkie
Otrzymane podziękowania: 1066 razy
Płeć:

Post autor: panb » 06 cze 2019, 22:05

Zmniejsz ten obrazek, bo się NIE MIEŚCI.

kalafiorowa123
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 2
Rejestracja: 06 cze 2019, 21:15
Płeć:

Post autor: kalafiorowa123 » 06 cze 2019, 22:14

Obrazek

Awatar użytkownika
panb
Expert
Expert
Posty: 3138
Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
Lokalizacja: Nowiny Wielkie
Otrzymane podziękowania: 1066 razy
Płeć:

Post autor: panb » 07 cze 2019, 14:36

Już lepiej.
Wprowadzamy współrzędne biegunowe: \(\begin{cases}x=r\cos\varphi \\y=r\sin\varphi\\|J|=r\end{cases}\)
Funkcja podcałkowa ma teraz postać: \[\iint_D \frac{2r dr d\varphi }{ \sqrt{1+r^2} }\] Pora na obszar D.
  • Warunek \(x^2+y^2\le4 \iff r\le 2\).
    Gorzej z warunkiem \(x+y\le 0\). Podstawiając za x i y dostajemy:

    \(r\cos\varphi+r\sin\varphi \le 0 \iff r\sqrt2\cos \left( \varphi- \frac{\pi}{2} \right)\le 0 \iff \cos \left( \varphi- \frac{\pi}{2} \right)\le 0 ,\,\,\, \cos \left( \varphi- \frac{\pi}{2} \right)\le 0 \in[0,2\pi]\)
    Rozwiązaniem tej nierówności jest: \(\,\,\,\pi \le \varphi \le 2\pi\)
.
Obszar \(D= \left\{(r,\varphi): 0\le r \le 2 \wedge \pi \le \varphi \le 2\pi \right\}\), a całka zamienia się na \[\int_{\pi}^{2\pi} d\varphi \int_{0}^{2} \frac{2r dr }{ \sqrt{1+r^2} }= \ldots = 2\pi (\sqrt5-1)\]