ekstremum warunkowe funkcji

[LudwikM]

jak wyznaczyć ekstremum warunkowe funkcji?
\(f(x,y)=2x^2-y^2+xy\), \(2x+3y=1\)

[kerajs]

\(y= \frac{1}{3} (1-2x)\\
f(x)=2x^2- \frac{1}{9}(1-2x)^2+ \frac{1}{3} x(1-2x)\)
Zakładam że ekstremum z tej funkcji jednej zmiennej potrafisz wyliczyć.

[LudwikM]

Tak dzięki, czyli w warunkowym chodzi o to że muszę wyznaczyć y i postawić do funkcji, zawsze tak będzie?

[kerajs]

Niestety nie zawsze jest to możliwe lub wygodne. Czasem nie da się wyliczyć jednej z niewiadomej (gdy warunek jest uwikłany (przykład: warunkiem jest \(y+x=\ln x +2\sin y\))) lub ilość (lub postać) wyliczonych funkcji niewiadomych jest irytująco niewygodna ( dodatkowo trzeba wtedy badać miejsca ich połączenia (przykład: warunkiem jest okrąg \(x^2+y^2=1\) który dzielę na funkcje \(y= \sqrt{1-x^2}\) oraz \(y=- \sqrt{1-x^2}\), w dodatku muszę zbadać co się dziej w punktach (-1,0) i (1,0) ))

W takich przypadkach stosuje się metodę Lagrange'a dodając nową niewiadomą i szuka się ekstremum z funkcji o tę niewiadomą poszerzonej.
Twoje zadanie wymagałoby znalezienia ekstremum z funkcji trzech zmiennych:
\(f(x,y, \lambda)=2x^2-y^2+xy+\lambda (2x+3y-1)\)