Oblicz pole części powierzchni sfery

Granice, pochodne, całki, szeregi
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
peresbmw
Czasem tu bywam
Czasem tu bywam
Posty: 127
Rejestracja: 28 paź 2018, 19:20
Podziękowania: 14 razy
Płeć:

Oblicz pole części powierzchni sfery

Post autor: peresbmw » 05 cze 2019, 21:48

Oblicz pole części powierzchni sfery \(x^2+y^2+z^2=3\) leżącej wewnątrz paraboloidy \(2z=x^2+y^2\). Wykonaj rysunek

kerajs
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1324
Rejestracja: 14 lis 2016, 15:38
Otrzymane podziękowania: 564 razy
Płeć:

Post autor: kerajs » 06 cze 2019, 05:14

\(2z+z^2=3\\
z=1 \vee z=-3\)

drugie rozwiązanie nie da paraboloidy więc liczymy po kole ograniczonym okręgiem:
\(2 \cdot 1=x^2+y^2\)
Ze względu na symetrię całką liczę tylko ćwiartkę pola
\(P=4 \int_{0}^{ \sqrt{2} } \left( \int_{0}^{ \sqrt{2-x^2} } \sqrt{1+( \frac{-2x}{2 \sqrt{3-x^2-y^2} } )^2+( \frac{-2y}{2 \sqrt{3-x^2-y^2} } )^2} \right) dx=...\)
Przejście na współrzędne biegunowe trochę uprości obliczenia.