Czy funkcja spełnai warunek

Granice, pochodne, całki, szeregi
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
lolipop692
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 267
Rejestracja: 30 paź 2018, 23:03
Podziękowania: 120 razy
Płeć:

Czy funkcja spełnai warunek

Post autor: lolipop692 »

a) Sprawdź, że funkcja \(z=arctg \frac{y}{x}\) spełnia warunek \(x^2z_{xx}+2xyz_{xy}+y^2z_{yy}=0\), gdzie \(x,y>0\).
kerajs
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 2963
Rejestracja: 14 lis 2016, 14:38
Podziękowania: 33 razy
Otrzymane podziękowania: 1303 razy
Płeć:

Post autor: kerajs »

\(z'_x= \frac{1}{1+( \frac{y}{x} )^2} \cdot \frac{-y}{x^2}= \frac{-y}{x^2+y^2} \\
z'_y= \frac{1}{1+( \frac{y}{x} )^2} \cdot \frac{1}{x}= \frac{x}{x^2+y^2} \\
z''_{xx}= \frac{2xy}{(x^2+y^2)^2} \\
z''_{xy}= \frac{-(x^2+y^2)+y \cdot 2y}{(x^2+y^2)^2} = \frac{-x^2+y^2}{(x^2+y^2)^2}\\
z''_{yy}= \frac{-2xy}{(x^2+y^2)^2}\)

wstaw wyliczone pochodne do warunku i sprawdź czy jest on spełniony.
ODPOWIEDZ