Zmień kolejność całkowania w całce

[alanowakk]

1)Zmień kolejność całkowania w całce \(\int_{0}^{2} dy \int_{-2+ \sqrt{2y-y^2} }^{1} f(x,y)dx\)

Dodatkowo naszkicuj obszar całkowania


2) Oblicz całkę z funkcji \(f(x,y,z)=z\) po obszarze \(V\) ograniczonym płaszczyznami \(x+y=1, x+y=2, x=0,y=0,z=0,z=1\). Naszkicuj obszar \(V\).

[kerajs]

1)
Obszar całkowania ogranicza prawy półokrąg okregu: \((x+2)^2+(y-1)^2=1\) od (-2,0) do (-2,2) oraz odcinki od (-2,2) do (1,2), od (1,2) do (1,0) oraz od (-2,0) do (1,0).
Obszar ten nie jest obszarem normalnym względem niewiadomej x i wymaga podziału na trzy obszary normalne. Poradzisz sobie z tym?

2)
\(\int_{0}^{1} \left( \int_{1-x}^{2-x} \left( \int_{0}^{1} zdz \right) dy \right) dx + \int_{1}^{2} \left( \int_{0}^{2-x} \left( \int_{0}^{1} zdz \right) dy \right) dx\)

[alanowakk]

1) skąd się wziął ten półokrąg i te punkty?

[alanowakk]

2) jak to narysować?

[kerajs]

Ad 1)
Półokrąg i proste (punkty są ich przecięciami) dostałem z granic całkowania.
Obszar leży między \(y=0 \ , \ y=2 \ , \ x=-2+ \sqrt{2y-y^2} \ , \ x=1\)

Problematyczna krzywa:
\(x=-2+ \sqrt{2y-y^2}\\
x+2= \sqrt{2y-y^2}\\
(x+2)^2=2y-y^2 \ \ \ \ \ \ \ \wedge \ \ x+2 \ge 0 \\
(x+2)^2+y^2-2t+1-1=0 \ \ \ \ \ \ \ \wedge \ \ x+2 \ge 0 \\
(x+2)^2+(y-1)^2=1 \ \ \ \ \ \ \ \wedge \ \ x \ge -2\)
jest pólokręgiem.

Ad 2)
Narysuj obszar ograniczony prostymi:
\(x+y=1, x+y=2, x=0,y=0\).
Uzyskany trapez to podstawa graniastosłupa o wysokości 1.