Znajdź wartość najmniejsza i największą funkcji

[alanowakk]

Cześć , potrzebuje pomocy, podpowiedzi


Znajdź wartość najmniejsza i największą funkcji \(f(x,y)=x^2-y^2\) w trójkącie
\(T=\){\((x,y) \in R^2:x>1,y>1,x+y<4\)}

[panb]

Najpierw normalnym sposobem sprawdź czy są ekstrema wewnątrz, a potem sprawdź, czy są na brzegach.
np. x+y=4 (dla odpowiednich x i y) to jeden z brzegów więc wstawiając y=4-x do wzoru funkcji f otrzymasz funkcję jednej zmiennej i poszukasz ekstremów, potem pozostałe brzegi. Pamiętaj, żeby sprawdzać, czy otrzymane punkty ekstremalne leżą w tym obszarze.

[alanowakk]

nie rozumiem jak się liczy na brzegach

[panb]

Przede wszystkim uważam, że nierówności w tym zadaniu mają być nieostre (\(x\ge 1, y\ge 1, x+y \le4\)), bo ekstrema są gwarantowane w przedziałach domkniętych.

Ok. Narysuj sobie ten trójkąt, żebyś wiedziała o czym piszę.

• Jeden z brzegów tego trójkąta to odcinek prostej y=1 od x=1 do \(x+1=4 \So\) x=3.
  Powtórzę, to odcinek od (1,1) do (3,1) prostej y=1.
  Żeby znaleźć ekstremum na tym odcinku do wzoru na f wstawiamy y=1:
  \(f(x,1)=x^2-1,\,\,\, x\in [1,3] \So f_{min}=f(1,1)=0,\,\, f_{max}=f(3,1)=8\)

Podobnie znajdujemy ekstrema na pozostałych odcinkach.
Mając wszystkie te ekstrema policzone wybieramy największe i to będzie \(f_{max}(x,y)\) i najmniejsze, które będzie robiło za minimum na tym trójkącie.