Uzasadnić że wśród wszystkich prostopadłościanów o objętości V sześcian ma najmniejsze pole
powierzchni całkowitej?
Uzasadnić, że
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
kerajs
- Fachowiec
- Posty: 2963
- Rejestracja: 14 lis 2016, 14:38
- Podziękowania: 33 razy
- Otrzymane podziękowania: 1303 razy
- Płeć:
\(P(a,b,c)=2ab+2ac+2bc \ \ \wedge \ \ V=abc \\
P(a,b)=2ab+ \frac{2V}{b}+ \frac{2V}{a} \ \ \wedge \ \ a,b \in \rr _+\\
P'_a=2b-\frac{2V}{a^2}\\
P'_b=2a-\frac{2V}{b^2}\\
WK: \\
\begin{cases} 2b-\frac{2V}{a^2} =0 \\ 2a-\frac{2V}{b^2}=0 \end{cases}\)
Jedyny punkt spełniający założenia to \(a=b= \sqrt[3]{V}\)
\(P''_{aa}= \frac{4V}{a^3} \\
P''_{ab}=P''_{ba}=2 \\
P''_{bb}= \frac{4V}{b^3} \\
\\
P''_{aa}(\sqrt[3]{V},\sqrt[3]{V})= 4 \\
P''_{ab}(\sqrt[3]{V},\sqrt[3]{V})=P''_{ba}=2 \\
P''_{bb}(\sqrt[3]{V},\sqrt[3]{V})=4 \\
\begin{vmatrix} 4&2\\2&4\end{vmatrix} =12>0\)
W sprawdzanym punkcie funkcja P ma minimum.
Inaczej:
\(P(a,b,c)=2ab+2ac+2bc=3 \cdot \frac{2ab+2ac+2bc}{3} \ge 3 \sqrt[3]{8a^2b^2c^2}=6 \sqrt[3]{V^2}\)
Równość zachodzi dla \(2ab=2ac=2bc\)
P(a,b)=2ab+ \frac{2V}{b}+ \frac{2V}{a} \ \ \wedge \ \ a,b \in \rr _+\\
P'_a=2b-\frac{2V}{a^2}\\
P'_b=2a-\frac{2V}{b^2}\\
WK: \\
\begin{cases} 2b-\frac{2V}{a^2} =0 \\ 2a-\frac{2V}{b^2}=0 \end{cases}\)
Jedyny punkt spełniający założenia to \(a=b= \sqrt[3]{V}\)
\(P''_{aa}= \frac{4V}{a^3} \\
P''_{ab}=P''_{ba}=2 \\
P''_{bb}= \frac{4V}{b^3} \\
\\
P''_{aa}(\sqrt[3]{V},\sqrt[3]{V})= 4 \\
P''_{ab}(\sqrt[3]{V},\sqrt[3]{V})=P''_{ba}=2 \\
P''_{bb}(\sqrt[3]{V},\sqrt[3]{V})=4 \\
\begin{vmatrix} 4&2\\2&4\end{vmatrix} =12>0\)
W sprawdzanym punkcie funkcja P ma minimum.
Inaczej:
\(P(a,b,c)=2ab+2ac+2bc=3 \cdot \frac{2ab+2ac+2bc}{3} \ge 3 \sqrt[3]{8a^2b^2c^2}=6 \sqrt[3]{V^2}\)
Równość zachodzi dla \(2ab=2ac=2bc\)