Oblicz objętość bryły U Ograniczonej powierzchniami:

Granice, pochodne, całki, szeregi
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
LuckyLuck
Rozkręcam się
Rozkręcam się
Posty: 65
Rejestracja: 03 lut 2019, 17:42
Podziękowania: 25 razy
Płeć:

Oblicz objętość bryły U Ograniczonej powierzchniami:

Post autor: LuckyLuck » 03 cze 2019, 21:39

Oblicz objętość bryły U Ograniczonej powierzchniami:
\(x^2+y^2=1\)\(~~\), \(z=x^2+y^2-3\), \(~~\)\(z=5- \sqrt{x^2+y^2}\)

Młodociany całkowicz
Rozkręcam się
Rozkręcam się
Posty: 57
Rejestracja: 07 kwie 2019, 20:35
Otrzymane podziękowania: 19 razy

Post autor: Młodociany całkowicz » 03 cze 2019, 23:08

Najpierw obliczamy zbiór punktów przecięcia dwóch ostatnich powierzchni:
\(a = \sqrt{x^2+y^2}\\a^2+a-8 = 0 \\ \Delta = 33\)
\(a_1 = \frac{-1-\sqrt{33}}{2}\) Ten pierwiastek odrzucamy bo jest ujemny
\(a_2 = \frac{-1+\sqrt{33}}{2}>1\\0\le a \le 1 \So a^2 -3 < 5 - a\)
Czyli dla \(x^2 + y^2 \le 1\) druga powierzchnia znajduje się nad pierwszą.
Teraz stosujemy współrzędne walcowe:
\(x = \rho cos \phi\\ y = \rho sin \phi \\ z = z\\ J = \rho\)
Nasza całka będzie mieć postać:
\(\int_0^{2\pi}d\phi\int_0^1 d\rho \int_{\rho^2 - 3}^{5-\rho}\rho dz\)