Oblicz pochodna kierunkowa funkcji

Granice, pochodne, całki, szeregi
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
LuckyLuck
Rozkręcam się
Rozkręcam się
Posty: 75
Rejestracja: 03 lut 2019, 17:42
Podziękowania: 28 razy
Płeć:

Oblicz pochodna kierunkowa funkcji

Post autor: LuckyLuck » 03 cze 2019, 21:34

Oblicz pochodna kierunkowa funkcji\(f(x,y)=(x^2-y)e^{2y-x}\) w punkcie \((x_0, y_0)=(1,1)\) w kierunku wersora tworzącego kąt \(\alpha = \pi /3\) z dodatnią częścią osia Ox.

Młodociany całkowicz
Rozkręcam się
Rozkręcam się
Posty: 60
Rejestracja: 07 kwie 2019, 20:35
Podziękowania: 1 raz
Otrzymane podziękowania: 19 razy

Re: Oblicz pochodna kierunkowa funkcji

Post autor: Młodociany całkowicz » 03 cze 2019, 22:06

Najpierw obliczamy wektor \(\vec{v} = [v_x;v_y]\)
Ponieważ długość tego wektrora wynosi 1, wiemy, że
\(\frac{v_x}{1} = v_x = cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}\\\frac{v_y}{1} = v_y = sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}\)
A zatem \(\vec{v} = [\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{2}]\)
Teraz obliczamy gradient:
\(f'_x(1,1) = 2xe^{2y - x} - (x^2-y)e^{2y-x}|_{(x,y) = (1,1)} = 2e\\f'_y(1,1) = -e^{2y - x} + 2(x^2-y)e^{2y-x}|_{(x,y) = (1,1)} = -e\)
A więc
\(\frac{ \partial f}{ \partial \vec{v}}(1,1) =[\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{2}] \circ [2e;-e] = (\frac{2 - \sqrt{3}}{2})e\)