oblicz pole obszaru ograniczonego krzywymi:

Granice, pochodne, całki, szeregi
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
enta
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 381
Rejestracja: 18 mar 2018, 14:33
Podziękowania: 105 razy
Płeć:

oblicz pole obszaru ograniczonego krzywymi:

Post autor: enta » 03 cze 2019, 15:37

oblicz pole obszaru ograniczonego krzywymi:
a) \(y=e^{-x}, y=x+1, y=0\)
b) \(y= \frac{1}{x} -1, y=1, y=x-1, x \ge 0\)

radagast
Guru
Guru
Posty: 16747
Rejestracja: 09 lis 2010, 08:38
Lokalizacja: Warszawa
Podziękowania: 25 razy
Otrzymane podziękowania: 7072 razy
Płeć:

Re: oblicz pole obszaru ograniczonego krzywymi:

Post autor: radagast » 03 cze 2019, 17:40

enta pisze:oblicz pole obszaru ograniczonego krzywymi:
a) \(y=e^{-x}, y=x+1, y=0\)
ScreenHunter_713.jpg
\(\frac{1}{2} + \int_{0}^{ \infty } e^{-x}dx=\frac{1}{2} + \left[-e^{-x} \right]_{0}^{ \infty } =\frac{1}{2} + \left[e^{-x} \right]_{\infty }^{ 0}= \frac{1}{2} +1-0=\frac{3}{2}\)
Nie masz wymaganych uprawnień, aby zobaczyć pliki załączone do tego posta.

kerajs
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1440
Rejestracja: 14 lis 2016, 15:38
Otrzymane podziękowania: 605 razy
Płeć:

Post autor: kerajs » 03 cze 2019, 17:56

b)
\(P= \int_{0}^{1} ((y+1)-( \frac{1}{y+1} ))dy=( \frac{y^2}{2}+y-\ln |y+1| )\int_{0}^{1} = (\frac{1}{2}+1-\ln 2)-(0+0-\ln 1) =1,5-\ln 2\)

enta
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 381
Rejestracja: 18 mar 2018, 14:33
Podziękowania: 105 razy
Płeć:

Re: oblicz pole obszaru ograniczonego krzywymi:

Post autor: enta » 03 cze 2019, 18:33

radagast pisze:
enta pisze:oblicz pole obszaru ograniczonego krzywymi:
a) \(y=e^{-x}, y=x+1, y=0\)
ScreenHunter_713.jpg
\(\frac{1}{2} + \int_{0}^{ \infty } e^{-x}dx=\frac{1}{2} + \left[-e^{-x} \right]_{0}^{ \infty } =\frac{1}{2} + \left[e^{-x} \right]_{\infty }^{ 0}= \frac{1}{2} +1-0=\frac{3}{2}\)

skąd wzięła się \(\frac{1}{2}\) przed całką?

Awatar użytkownika
eresh
Mistrz
Mistrz
Posty: 13764
Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
Otrzymane podziękowania: 8099 razy
Płeć:

Re: oblicz pole obszaru ograniczonego krzywymi:

Post autor: eresh » 03 cze 2019, 18:40

enta pisze:
radagast pisze:
enta pisze:oblicz pole obszaru ograniczonego krzywymi:
a) \(y=e^{-x}, y=x+1, y=0\)
ScreenHunter_713.jpg
\(\frac{1}{2} + \int_{0}^{ \infty } e^{-x}dx=\frac{1}{2} + \left[-e^{-x} \right]_{0}^{ \infty } =\frac{1}{2} + \left[e^{-x} \right]_{\infty }^{ 0}= \frac{1}{2} +1-0=\frac{3}{2}\)

skąd wzięła się \(\frac{1}{2}\) przed całką?
to pole trójkąta o wierzchołkach (-1,0),(0,0),(0,1)
\(P=\frac{1}{2}\cdot 1\cdot 1\)

enta
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 381
Rejestracja: 18 mar 2018, 14:33
Podziękowania: 105 razy
Płeć:

Post autor: enta » 03 cze 2019, 18:53

ok dzięki a jak będzie w tym przypadku wyglądało pole?
\(y= \frac{2}{x} , y=0, y=x, x \ge 0\)

Młodociany całkowicz
Rozkręcam się
Rozkręcam się
Posty: 60
Rejestracja: 07 kwie 2019, 20:35
Podziękowania: 1 raz
Otrzymane podziękowania: 19 razy

Re: oblicz pole obszaru ograniczonego krzywymi:

Post autor: Młodociany całkowicz » 03 cze 2019, 20:12

Tutaj proponuję użyć współrzędnych biegunowych:
\(x = \rho cos \phi\\y = \rho \sin\phi\\xy\le 2 \So \rho \le \sqrt{\frac{2}{sin\phi cos\phi}}\)
A zatem nasza całka będzie miała postać:
\(\int_0^{\frac{\pi}{4}}d\phi\int_0^\sqrt{\frac{2}{sin\phi cos\phi}}\rho d\rho\)

radagast
Guru
Guru
Posty: 16747
Rejestracja: 09 lis 2010, 08:38
Lokalizacja: Warszawa
Podziękowania: 25 razy
Otrzymane podziękowania: 7072 razy
Płeć:

Re:

Post autor: radagast » 03 cze 2019, 20:47

enta pisze:ok dzięki a jak będzie w tym przypadku wyglądało pole?
\(y= \frac{2}{x} , y=0, y=x, x \ge 0\)
albo tak: \(\displaystyle 1+ \int_{ \sqrt{2} }^{ \infty } \frac{2}{x} dx=1+2 \left[ \ln x dx\right]_{ \sqrt{2} }^{ \infty }\) ono jest nieskończone :(
ScreenHunter_714.jpg
Tym razem też ta jedynka przed całką to pole trójkata :)
Nie masz wymaganych uprawnień, aby zobaczyć pliki załączone do tego posta.