oblicz pole obszaru ograniczonego krzywymi:

[enta]

oblicz pole obszaru ograniczonego krzywymi:
a) \(y=e^{-x}, y=x+1, y=0\)
b) \(y= \frac{1}{x} -1, y=1, y=x-1, x \ge 0\)

[radagast]

oblicz pole obszaru ograniczonego krzywymi:
a) \(y=e^{-x}, y=x+1, y=0\)

ScreenHunter_713.jpg (19.1 KiB) Przejrzano 1375 razy

\(\frac{1}{2} + \int_{0}^{ \infty } e^{-x}dx=\frac{1}{2} + \left[-e^{-x} \right]_{0}^{ \infty } =\frac{1}{2} + \left[e^{-x} \right]_{\infty }^{ 0}= \frac{1}{2} +1-0=\frac{3}{2}\)

[kerajs]

b)
\(P= \int_{0}^{1} ((y+1)-( \frac{1}{y+1} ))dy=( \frac{y^2}{2}+y-\ln |y+1| )\int_{0}^{1} = (\frac{1}{2}+1-\ln 2)-(0+0-\ln 1) =1,5-\ln 2\)

[enta]

oblicz pole obszaru ograniczonego krzywymi:
a) \(y=e^{-x}, y=x+1, y=0\)

ScreenHunter_713.jpg

\(\frac{1}{2} + \int_{0}^{ \infty } e^{-x}dx=\frac{1}{2} + \left[-e^{-x} \right]_{0}^{ \infty } =\frac{1}{2} + \left[e^{-x} \right]_{\infty }^{ 0}= \frac{1}{2} +1-0=\frac{3}{2}\)

skąd wzięła się \(\frac{1}{2}\) przed całką?

[eresh]

oblicz pole obszaru ograniczonego krzywymi:
a) \(y=e^{-x}, y=x+1, y=0\)

ScreenHunter_713.jpg

\(\frac{1}{2} + \int_{0}^{ \infty } e^{-x}dx=\frac{1}{2} + \left[-e^{-x} \right]_{0}^{ \infty } =\frac{1}{2} + \left[e^{-x} \right]_{\infty }^{ 0}= \frac{1}{2} +1-0=\frac{3}{2}\)

skąd wzięła się \(\frac{1}{2}\) przed całką?

to pole trójkąta o wierzchołkach (-1,0),(0,0),(0,1)
\(P=\frac{1}{2}\cdot 1\cdot 1\)

[enta]

ok dzięki a jak będzie w tym przypadku wyglądało pole?
\(y= \frac{2}{x} , y=0, y=x, x \ge 0\)

[Młodociany całkowicz]

Tutaj proponuję użyć współrzędnych biegunowych:
\(x = \rho cos \phi\\y = \rho \sin\phi\\xy\le 2 \So \rho \le \sqrt{\frac{2}{sin\phi cos\phi}}\)
A zatem nasza całka będzie miała postać:
\(\int_0^{\frac{\pi}{4}}d\phi\int_0^\sqrt{\frac{2}{sin\phi cos\phi}}\rho d\rho\)

[radagast]

ok dzięki a jak będzie w tym przypadku wyglądało pole?
\(y= \frac{2}{x} , y=0, y=x, x \ge 0\)

albo tak: \(\displaystyle 1+ \int_{ \sqrt{2} }^{ \infty } \frac{2}{x} dx=1+2 \left[ \ln x dx\right]_{ \sqrt{2} }^{ \infty }\) ono jest nieskończone

ScreenHunter_714.jpg (15.11 KiB) Przejrzano 1357 razy

Tym razem też ta jedynka przed całką to pole trójkata