Zbadaj ciągłość funkcji:
\(f(x)= \begin{cases} \frac{x-sin(x)}{x^3} \text{dla x<0 } \\ \frac{1}{6} \text{dla x=0 } \\ \frac{e^x-1}{6x} \text{dla x>0 } \end{cases}\)
Ciągłość funkcji
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
kerajs
- Fachowiec
- Posty: 2963
- Rejestracja: 14 lis 2016, 14:38
- Podziękowania: 33 razy
- Otrzymane podziękowania: 1303 razy
- Płeć:
Tylko w zerze f(x) może być nieciągła.
\(\Lim_{x\to 0^-} \frac{x-\sin x}{x^3}= \left[ \frac{0}{0} \right] \stackrel{[H]}{=} \Lim_{x\to 0^-} \frac{1-\cos x}{3x^2}= \left[ \frac{0}{0} \right] \stackrel{[H]}{=} \Lim_{x\to 0^-} \frac{\sin x}{6x}= \frac{1}{6}\)
\(\Lim_{x\to 0^+} \frac{e^x-1}{6x}= \left[ \frac{0}{0} \right] \stackrel{[H]}{=} \Lim_{x\to 0^-} \frac{e^x}{6}= \frac{1}{6}\)
Ponieważ \(\Lim_{x\to 0^-} f(x)=f(0)=\Lim_{x\to 0^+} f(x)\) to f(x) jest ciągła w x=0.
\(\Lim_{x\to 0^-} \frac{x-\sin x}{x^3}= \left[ \frac{0}{0} \right] \stackrel{[H]}{=} \Lim_{x\to 0^-} \frac{1-\cos x}{3x^2}= \left[ \frac{0}{0} \right] \stackrel{[H]}{=} \Lim_{x\to 0^-} \frac{\sin x}{6x}= \frac{1}{6}\)
\(\Lim_{x\to 0^+} \frac{e^x-1}{6x}= \left[ \frac{0}{0} \right] \stackrel{[H]}{=} \Lim_{x\to 0^-} \frac{e^x}{6}= \frac{1}{6}\)
Ponieważ \(\Lim_{x\to 0^-} f(x)=f(0)=\Lim_{x\to 0^+} f(x)\) to f(x) jest ciągła w x=0.