Rozwiąż równania :

[LuckyLuck]

Rozwiąż równania :

\(y''-4y'+3y=9x^2+9x+1\)
\(3y''-4y'+y=9 sin 9t\)
\(y''+4y'+5y=9e^2x\)

[panb]

Tutaj rozwiązanie też w trzech etapach.

1. Równanie jednorodne: \(y''-4y+3y=0\), którego rozwiązaniem jest \(y_0\)
2. przewidywany dodatek do \(y_0: \quad y_1=Ax^2+Bx+C\)
3. składamy oba wyniki tak, że \(y=y_0+y_1\)

ad 1. wielomian odpowiadający temu równaniu ma postać: \(r^2-4r+3=0 \iff r=1 \vee r=3\), więc \[y_0=De^x+Fe^{3x}\] ad 2. wstawiając \(y_1\) otrzymujemy równanie \(y''_1-4y'_1+3y_1\equiv 9x^2+9x+1\). Stąd
\(A=3,\,\, B=11,\,\, C=13\) i w efekcie otrzymujemy:
\[y=De^x+Fe^{3x}+3x^2+11x+13\]

[panb]

Drugi przykład podobnie.
Znajdujesz \(y_0\) i przewidujesz, że \(y_1=A\sin9t+B\cos9t\)
Potem "składasz to " w funkcję \(y=y_0+y_1\)

[panb]

Trzeci przykład jest inny ponieważ \(\Delta <0\) i równanie ma rozwiązania urojone \(-2 \pm i\)
Wtedy \(y_0=Ae^{-2x}\sin x+Be^{-2x}\cos x\)
Przewidywany dodatek to: \(y_1=Ce^{2x}\)
Reszta przebiega tak samo.

[LuckyLuck]

Tutaj rozwiązanie też w trzech etapach.

1. Równanie jednorodne: \(y''-4y+3y=0\), którego rozwiązaniem jest \(y_0\)
2. przewidywany dodatek do \(y_0: \quad y_1=Ax^2+Bx+C\)
3. składamy oba wyniki tak, że \(y=y_0+y_1\)

ad 1. wielomian odpowiadający temu równaniu ma postać: \(r^2-4r+3=0 \iff r=1 \vee r=3\), więc \[y_0=De^x+Fe^{3x}\] ad 2. wstawiając \(y_1\) otrzymujemy równanie \(y''_1-4y'_1+3y_1\equiv 9x^2+9x+1\). Stąd
\(A=3,\,\, B=11,\,\, C=13\) i w efekcie otrzymujemy:
\[y=De^x+Fe^{3x}+3x^2+11x+13\]

czy muszę jakoś wyliczyć D i E?

[LuckyLuck]

i nie rozumiem jak zostało wyliczone A B i C

[panb]

A, B i C otrzymujesz porównując współczynniku tego co po lewej i po prawej stronie. Wstaw za y_1 to co trzeba do równania różniczkowego i pogrupuj wg potęgi iksa. Potem porównuj współczynniki. Nigdy tego nie robiłeś?!
\(y''_1-4y'_1+3y_1\equiv 9x^2+9x+1\)

[LuckyLuck]

Drugi przykład podobnie.
Znajdujesz \(y_0\) i przewidujesz, że \(y_1=A\sin9t+B\cos9t\)
Potem "składasz to " w funkcję \(y=y_0+y_1\)

\(y_0= De^{ \frac{1}{3}x}+Ee^{x}\) tak będzie wyglądało?

[panb]

Tak jest - brawo.