Oblicz objętość bryły ograniczonej powierzchniami

[alanowakk]

Oblicz objętość bryły ograniczonej powierzchniami: \(z= \frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9}\) , \(\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} =1\)

[korki_fizyka]

https://www.youtube.com/watch?v=Ikw1t0By8tE

[alanowakk]

nie dopisałam jeszcze jednego warunku z=0, nie umiem poradzić sobie z wyznaczeniem tej całki

[panb]

Wprowadzam współrzędne \(r\) i \(\varphi\) takie, że:
\(\begin{cases}x=4r\cos\varphi\\y=3r\sin\varphi \end{cases}\)
Jakobian tego przekształcenia \(|J|= \begin{vmatrix}4\cos\varphi & -4r\sin\varphi \\3\sin\varphi & 3r\cos\varphi\end{vmatrix}=12r\)
Równanie \(z=\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9}\) przyjmie postać \(z=r^2\)
natomiast \(\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9}=1 \iff r^2=1\)
Zakresy zmienności to
\(\begin{cases} 0\le z\le r^2\\ 0\le r \le 1 \\0\le \varphi \le 2\pi\end{cases}\), a objętość tego to
\[|V|=\int_{0}^{2\pi}d\varphi \int_{0}^{1}dr \int_{0}^{r^2} |J|dz= \int_{0}^{2\pi}d\varphi \int_{0}^{1}dr \int_{0}^{r^2} 12rdz=24\pi \int_{0}^{1}r^3dr=6\pi\] Extra:

Ilustracja do zadania

ilustr.png (66.09 KiB) Przejrzano 1706 razy

[alanowakk]

super dzięki wielkie