wyznaczyć rozwiązanie ogólne równania różniczkowego

[enta]

wyznaczyć rozwiązanie ogólne równania różniczkowego liniowego rzędu pierwszego niejednorodnego
\(\frac{dy}{dx}+3y=x^2 +sin3x\)
a)metodą uzmienniania stałej,
b) metodą przewidywania

[panb]

Najpierw równanie jednorodne: \(\frac{dy}{dx}+3y=0 \iff \frac{dy}{y}=-3xdx \So y=ce^{-3x}\)

• Uzmienniamy stałą c: \(c=c(x)\)
  \(c=c(x) \So \frac{dy}{dx} =y'=c'e^{-3x}-3ce^{-3x}\)

\(\frac{dy}{dx}+3y=x^2+\sin3x\\
c'e^{-3x}-3ce^{-3x}-3ce^{-3x}=x^2+\sin3x\\
c'=x^2e^{3x}+e^{3x}\sin3x \So c(x)=\int x^2e^{3x}dx+\int e^{3x}\sin3x dx +C\)

• \(\int x^2e^{3x} dx= \frac{e^{3x}(9x^2-6x+2)}{27} \quad \int e^{3x}\sin3x dx= \frac{e^{3x}(\sin3x-\cos3x)}{6}\)

Reasumując: \[y=c(x)e^{-3x}= \frac{9x^2-6x+2}{27}+ \frac{\sin3x-\cos3x}{6} +Ce^{-3x}\]