Oblicz całkę podwójną

Granice, pochodne, całki, szeregi
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
peresbmw
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 274
Rejestracja: 28 paź 2018, 18:20
Podziękowania: 80 razy
Płeć:

Oblicz całkę podwójną

Post autor: peresbmw »

Oblicz całkę podwójną\(\int_{}^{} \int_{D}^{} (2x+py-1)dxdy\), gdzie obszarem całkowania jest trójkąt o wierzchołkach \(A(0,1)\), \(B(4,2)\) i \(C(2,3)\).
Awatar użytkownika
Młodociany całkowicz
Często tu bywam
Często tu bywam
Posty: 170
Rejestracja: 07 kwie 2019, 20:35
Podziękowania: 3 razy
Otrzymane podziękowania: 39 razy

Post autor: Młodociany całkowicz »

Liczymy proste zawierające odcinki AB, AC, BC.
\(l_{AB} = \lbrace(x,y): y = \frac{1}{4}x+1 \rbrace\\l_{AC} = \lbrace(x,y): y = x+1 \rbrace\\l_{BC}= \lbrace(x,y): y = -\frac{1}{2}x+4 \rbrace\)
A zatem całka ma postać:
\(\int_0^2dx\int_{\frac{1}{4}x+1}^{x+1}(2x + py- 1)dy + \int_2^4dx\int_{\frac{1}{4}x+1}^{-\frac{1}{2}x+4}(2x + py- 1)dy=\\=\int_0^2((2x-1)(x+1-\frac{1}{4}x-1)+ p(x+1+\frac{1}{4}x + 1)(x+1-\frac{1}{4}x-1))dx +\\+\int_2^4((2x-1)(-\frac{1}{2}x+4-\frac{1}{4}x-1)+ p(-\frac{1}{2}x+4+\frac{1}{4}x + 1)(-\frac{1}{2}x+4-\frac{1}{4}x-1))dx = \\=\int_0^2((2x-1)(\frac{3}{4}x)+ p(\frac{5}{4}x + 2)(\frac{3}{4}x))dx +\\+\int_2^4((2x-1)(-\frac{3}{4}x+3)+ p(-\frac{1}{2}x + 5)(-\frac{3}{4}x+3))dx = \\ =\int_0^2((\frac{3}{4}x)(2+ \frac{5}{4}p)x+(2p-1))dx + \int_2^4((-\frac{3}{4}x+3)((2 - \frac{1}{2}p)x + 5p-1)dx = \\ = \int_0^2(\frac{3}{2} + \frac{15}{16}p)x^2 + (\frac{3}{2}p - \frac{3}{4})xdx + \int_2^4((-\frac{3}{2}+ \frac{3}{8}p)x^2+(-\frac{21}{4}p + \frac{27}{4} )x + 15p - 3)dx = \\ = [(\frac{1}{2} + \frac{5}{16}p) x^3 + (\frac{3}{4}p- \frac{3}{8})x^2]_0^2 + [(-\frac{1}{2} + \frac{1}{8}p)x^3 + (-\frac{21}{8}p + \frac{27}{8})x^2 + (15p - 3)x)]_2^4 = \\ = 4 + \frac{5}{2}p + 3p - \frac{3}{2} -28 +7p- \frac{63}{2}p + \frac{81}{2} + 30p - 6=\\=9+11p\)
Sprawdź jeszcze obliczenia.
ODPOWIEDZ