forum.zadania.info

Korzystając z twierdzenia Greena oblicz całki krzywoliniowe

a) \(\int_{K}^{} (x+y)dx+y^2dy\), gdzie \(K\) jest kwadratem o wierzchołkach \(A(-1,-1)\), \(B(1,-1)\), \(C(1,1)\), \(D(-1,1)\), dodatnio skierowanym .
b) \(\int_{K}^{} (x+2y)dx+(y^2-4xy)dy\), gdzie \(K\) jest brzegiem obszaru ograniczonego krzywymi \(y=4-x^2\) i \(y=0\) dodatnio skierowanym .
c) \(\int_{K}^{} (xy^2+2x+1)dx-ydy\), gdzie\(K\) jest brzegiem obszaru leżącego w pierwszej ćwiartce układu i ograniczonego okręgiem \(x^2+y^2=1\) oraz prostymi\(x=0\), \(y=0\)ujemnie skierowanym.

Proszę o pomoc w zapisaniu jak ma wyglądać ta całka, z reszta myślę że sobie poradzę .

a) Stosujesz standardowy wzór Greena:
\(\int_K Pdx + Qdy = \int\!\!\!\int_D(\frac{dQ}{dx} - \frac{dP}{dy})dxdy = -\int_{-1}^1dy\int_{-1}^1dx\)
b)To samo, tylko, że później stosujesz współrzędne biegunowe.
c)Też stosujesz współrzędne biegunowe, tylko, że ograniczasz \(\phi\) do przedziału \(\left[0;\frac{\pi}{2}\right]\).
I pamiętaj, aby wpisać "-" przed całką.

czy w b) całka będzie wyglądać \(\int_{}^{} \int_{-2}^{2}dxdy\) ?
tylko nie wiem jaki przedział po y

a w c) \(\int_{0}^{ \frac{ \pi }{2} } \int_{}^{} 2xy dxd \phi\)?