Policz z pomocą całki podwójnej

Granice, pochodne, całki, szeregi
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
LuckyLuck
Rozkręcam się
Rozkręcam się
Posty: 65
Rejestracja: 03 lut 2019, 17:42
Podziękowania: 25 razy
Płeć:

Policz z pomocą całki podwójnej

Post autor: LuckyLuck » 11 maja 2019, 19:58

Policz z pomocą całki podwójnej (stosując zamianę zmiennych , gdy to niezbędne) pole płata
powierzchniowego , jeżeli bryła jest ograniczona powierzchniami.
a)\(f(x,y) = \sqrt{x^2+y^2}\) , \(x^2+y^2=2x\),
b) \(f(x,y)=xy\), \(x^2+y^2=4\)
c) \(z=1-x^2-y^2\), \(z=0\)

Proszę tylko o pomoc w wyznaczeniu całki i przedziałów całkowania, resztę potrafię zrobić

Awatar użytkownika
panb
Expert
Expert
Posty: 3138
Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
Lokalizacja: Nowiny Wielkie
Otrzymane podziękowania: 1066 razy
Płeć:

Post autor: panb » 11 maja 2019, 21:47

a)\(|S|=\iint_D \sqrt{1+ \left( \frac{ \partial f}{ \partial x}\right)^2+ \left( \frac{ \partial f}{ \partial y} \right) ^2 }dx dy\)

\(\frac{ \partial f}{ \partial x} = \frac{x}{ \sqrt{x^2+y^2} },\,\,\, \frac{ \partial f}{ \partial y} = \frac{y}{ \sqrt{x^2+y^2} } \So \sqrt{1+ \left( \frac{ \partial f}{ \partial x}\right)^2+ \left( \frac{ \partial f}{ \partial y} \right) ^2 }= \sqrt{2}\), więc \(|S|=\sqrt{2}\iint_D dxdy\)

Teraz zajmijmy się obszarem \(D= \left\{(x,y): (x-1)^2+y^2=1 \right\}= \left\{(r, \varphi): - \frac{\pi}{2}\le \varphi \le \frac{\pi}{2},\quad 0\le r \le 2\cos\varphi \right\}\)
Zatem \[|S|=\sqrt2 \int_{-\pi/2}^{\pi/2} d\varphi \int_{0}^{2\cos\varphi}rdr=2\sqrt2 \int_{0}^{\pi/2} d\varphi \int_{0}^{2\cos\varphi}rdr=\dots =\pi \sqrt{2}\] Sprawdź w odpowiedzi, jeśli ją masz, bo wiesz... .

LuckyLuck
Rozkręcam się
Rozkręcam się
Posty: 65
Rejestracja: 03 lut 2019, 17:42
Podziękowania: 25 razy
Płeć:

Post autor: LuckyLuck » 12 maja 2019, 20:29

tak jest ok, dzięki, pomożesz mi z przedziałami całkowania w kolejnych podpunktach?

Młodociany całkowicz
Rozkręcam się
Rozkręcam się
Posty: 57
Rejestracja: 07 kwie 2019, 20:35
Otrzymane podziękowania: 19 razy

Re: Policz z pomocą całki podwójnej

Post autor: Młodociany całkowicz » 12 maja 2019, 20:48

b) robisz dokładnie tak samo jak a, stosujesz dokładnie te same wzory na całkę, i te same wzory na zamianę zmiennych, tylko przedziały r-a są prostsze bo od 0 do 2.
c) Traktujesz z jako f(x,y) i stosujesz identyczny wzór, co w pozostałych podpunktach, tylko, że musisz jeszcze policzyć pole "denka", w którym z = 0, ale to jest przecież koło o promieniu 1.

LuckyLuck
Rozkręcam się
Rozkręcam się
Posty: 65
Rejestracja: 03 lut 2019, 17:42
Podziękowania: 25 razy
Płeć:

Post autor: LuckyLuck » 14 maja 2019, 19:40

w c jaki będzie przedział?