forum.zadania.info

Policz całki skierowane
a) \(\int_{K}^{} (2x-1)dx+ydy\), gdzie \(K\) jest brzegiem obszaru ograniczonego krzywymi \(y=x^2\) i \(y=9\) dodatnio skierowanym
b) \(\int_{K}^{} (x-y)dx+(x+y)dy\), gdzie \(K\)-górna połowa okręgu \(x^2+y^2=1\)
c) \(\int_{K}^{} ydx+2xdy\), gdzie \(K\) -łuk cykloidy danej parametryzacją \(x=t-sin t\), \(y=1-cos t\), \(t \in [0,2 \pi ]\)

proszę tylko o zapisanie przedziałów całkowania bo z tym mam największy problem

a) Możemy zastosować tw. Greena
\(\int_K Pdx + Qdy = \int_D (\frac{dQ}{dx} - \frac{dP}{dy})dxdy\)
W tym przypadku
\(\frac{dQ}{dx} - \frac{dP}{dy} = 0\)
zatem całka jest równa 0.
b) Tutaj też stosujemy tw. Greena.
\(\int_k Pdx + Qdy = \int_D(\frac{dQ}{dx} - \frac{dP}{dy})dxdy = 2\int_Ddxdy\)
Stosując współrzędne biegunowe otrzymujemy całkę
\(\int_0^\pi d\phi \int_0^1\rho \rho d\rho\)
c)
\(\frac{dx}{dt} = 1 - cost\\ \frac{dy}{dt} = sint\)
Szukana całka jest równa następującej całce:
\(\int_0^{2\pi}((1 - cost)^2 + 2sint(t-sint))dt\)