forum.zadania.info

Policz całki nieskierowane
a) \(\int_{K}^{} ydl\), gdzie \(K\) jest łukiem paraboli \(y^2=4x\), wyciętym przez parabolę \(4y=x^2\)
b) \(\int_{K}^{} zdl\), gdzie\(K\) jest krzywą, daną równaniami parametrycznymi
\(x=t cos t\), \(y=t sin t\), \(z=t\), \(0 \le t \le 1\)

a) Wyliczasz punkty przecięcia:
\(y^2 = 4x\\
x^2 = 4y\)
Odejmujesz równania stronami i otrzymujesz:
\((x+y)(x-y) = 4(x-y) \So (x+y-4)(x-y) = 0\)
Pierwszy nawias daje dwa pierwiastki obce. Właściwe pierwiastki układu równań daje nawias drugi. Są to pary
\((0,0);(4,4)\)
Parametryzujesz:
\(y=2t\\
x = t^2\\
\frac{dx}{dt} = 2\\
\frac{dy}{dt} = 2t\\
\int_K ydl = \int_0^22t\sqrt{4+4t^2}dt = \left[ u = 4t^2+4 \right] = \frac{1}{4}\int_4^{20}\sqrt{u}du =\\= \frac{1}{6}u^{\frac{3}{2}}|_4^{20} = \frac{1}{3}(20\sqrt{5} - 4)\)

b)
\(\frac{dx}{dt} = cost - tsint\\
\frac{dy}{dt} = sint + tcost\\
\frac{dz}{dt} = 1\\
\int_kzdl = \int_0^1t\sqrt{cos^2t - tsin2t + t^2sin^2t + sin^2t + tsin2t+t^2cos^2t+1}dt = \\
\\ \int_0^1 t\sqrt{t^2+2}dt = \left[ u = t^2 + 2 \right] = \frac{1}{2}\int_2^3\sqrt{u}du = \frac{1}{3}u^{\frac{3}{2}}|_2^3 = \sqrt{3}- \frac{2}{3}\sqrt{2}\)