Policzyć całki podwójne w podanych obszarach regularnych

[LuckyLuck]

Policzyć całki podwójne w podanych obszarach regularnych
a) \(\int \int \frac{dxdy}{x^2+y^2}\) gdzie jest ograniczone okręgami \(x^2+y^2=, x^2+y^2=4\)
b) \(\int \int (x-2y)dxdy , ~~~~~~(x-1)^2+(y-1)^2 \le 4, ~~1 \ge x, x \ge y\)
c) \(\int \int(x+y) dxdy ,~~~~~~y=x, x=2\) i hiperbolą \(y= \frac{1}{x}\)
d) \(\int \int (2x+y-1)dxdy~~~~~~\) obszar jest trójkątem A(1,1), B(5,3), C=(5,5)

Proszę o pomoc w wyznaczeniu przedziałów całkowania

[panb]

a) - musisz uzupełnić, brak promienia pierwszego okregu

b)tak wygląda ten obszar

rys1.png (19.06 KiB) Przejrzano 1288 razy

• Najpierw współrzędne punktu A \(\begin{cases} (x-1)^2+(y-1)^2=4\\y=x\end{cases} \iff A=(1- \sqrt{2},1- \sqrt{2})\)
  Teraz obszar:\(D= \left\{(x,y): 1- \sqrt{2}\le x \le1, \,\,\, 1- \sqrt{4-(x-1)^2} \le y \le x \right\}\)

Dasz radę przerobić to na granice całkowania?

[LuckyLuck]

w a) \(x^2+y^2=1\)

[LuckyLuck]

d) już sobie poradziłem

[panb]

c) najpierw ilustracja

rys2.png (28.23 KiB) Przejrzano 1285 razy

Czy na jej podstawie dasz radę określić obszar całkowania? Spróbuj!

[LuckyLuck]

w b) nie bardzo wiem jak dalej

[LuckyLuck]

ok dzięki w c policzyłem

[panb]

w b) nie bardzo wiem jak dalej

Chciałeś pomocy w wyznaczeniu przedziałów całkowania, a ty masz chyba problem z policzeniem tej całki. Tak?

[LuckyLuck]

b odpowiedź mam z \(\pi\) a tutaj nic takiego mi nie wychodzi

[panb]

Nie bądź pesymistą. Wystarczy, że się jakiś arkus pojawi i już \(\pi\) będzie miało szansę.
W przykładzie a) przechodzi się na współrzędne biegunowe i wtedy obszar wygląda tak:
\(D= \left\{(r,\varphi): 0 \le \varphi \le 2\pi,\,\, 1\le r \le 2 \right\}\) i całka przyjmuje przyjemną postać: \(\int_{0}^{2\pi}d\varphi \int_{1}^{2} \frac{rdr}{r^2}\)

[LuckyLuck]

Dzięki wielkie już sobie poradzę, najgorsze są te przedziały:( jeszcze raz dziękuję za pomoc:)

[panb]

b odpowiedź mam z \(\pi\) a tutaj nic takiego mi nie wychodzi

Policzyłem (Wolframem) i wyszło: \(\,\,\, 4\sqrt2- \frac{8}{3} - \frac{\pi}{2}\), jest \(\pi\).

[LuckyLuck]

Tak miało wyjść:)