Oblicz za pomocą całki podwójnej

[LuckyLuck]

Oblicz za pomocą całki podwójnej i zastosuj zamianę zmiennych jeśli będzie to konieczne, objętość bryły ograniczonej powierzchniami
a) \(z=9-x^2-y^2\), \(z=0\)
b) \(z=9-x^2\),\(z=0\), \(y^2=3x\)
c) \(x^2+y^2+z^2=9\), \(x^2+y^2=1\)
d) \(z=5-2x-y\), \(x=0\), \(y=0\), \(z=0\)

[LuckyLuck]

proszę tylko o przedziały i zapisanie jak całka powinna wyglądać z policzeniem sobie poradzę

[Młodociany całkowicz]

a) Współrzędne walcowe
\(\int\!\!\!\int\!\!\!\int_S dxdydz = \int_0^{2\pi}d\phi\int_0^3d\rho\int_0^{9-\rho^2}\rho dz\)
b) Nie potrzeba żadnych podstawień:
\(\int\!\!\!\int\!\!\!\int_S dxdydz = \int_{-3}^3dx\int_{-\sqrt{3x}}^\sqrt{3x}dy\int_0^{9-x^2}dz\)
c) Współrzędne walcowe
\(\int\!\!\!\int\!\!\!\int_S dxdydz = \int_0^{2\pi}d\phi\int_0^1 d\rho\int_{-\sqrt{9-\rho^2}}^{\sqrt{9-\rho^2}}\rho dz\)
d)Obędzie się bez zmiany współrzędnych
\(\int\!\!\!\int\!\!\!\int_S dxdydz = \int_0^{2,5}dx\int_0^{5-2x}dy\int_0^{5-2x-y}dz\)

[LuckyLuck]

dziękuję, tylko tutaj wyszły całki potrójne da się to jakoś zapisać za pomocą całki podwójnej?

[panb]

To nie problem.
a)\(\iint_Dzdxdy= \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{3}(9-r^2)rdr= \frac{81}{2}\pi\)

Po prostu tę całkę po dz obliczasz. U @Młodocianego jest na końcu \(\ldots \int_{0}^{9-r^2}dz=9-r^2\).
Zrób ten myk w pozostałych całkach i zostaną ci całki podwójne.

[LuckyLuck]

w a) wynik powinien być \(8 \pi\) a z tej całki nie bardzo mi to wychodzi

[panb]

rys1.png (37.93 KiB) Przejrzano 1191 razy

Sprawdź jeszcze raz w odpowiedzi. Ja myślę tak. W tej bryle zmieści się stożek o podstawie o promieniu r=3 i wysokości 9.
Objętość naszej bryły \(V> \frac{1}{3}\pi \cdot 3^2 \cdot 9=27\pi\), więc odpowiedź \(8\pi\) nie może być poprawna.
Co ty na to?