Znaleźć rozwiązanie szczególne równania spełniające podane w

Granice, pochodne, całki, szeregi
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
peresbmw
Czasem tu bywam
Czasem tu bywam
Posty: 127
Rejestracja: 28 paź 2018, 19:20
Podziękowania: 14 razy
Płeć:

Znaleźć rozwiązanie szczególne równania spełniające podane w

Post autor: peresbmw » 08 maja 2019, 12:37

Znaleźć rozwiązanie szczególne równania spełniające podane warunki:
a) \(y_{n+1}-y_n=6n-8, y_0=6\)
b)\(y_{n+2}-4y_{n+1}+4y_n=18*4^n, y_0=4, y_1=14\)

Awatar użytkownika
panb
Expert
Expert
Posty: 3147
Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
Lokalizacja: Nowiny Wielkie
Otrzymane podziękowania: 1069 razy
Płeć:

Post autor: panb » 08 maja 2019, 23:05

a) pewnie jest na to jakaś wyrafinowana metoda, ale ja to tak bym robił
\(y_n=y_{n-1}+6(n-1)-8=y_{n-2}+6(n-2)-8+6(n-1)-8=y_{n-2}+6 \left[ (n-2)+(n-1)\right] -2 \cdot 8=\\
=y_{n-3}+6 \left[(n-1)+(n-2)+(n-3) \right] -3 \cdot 8=\ldots =y_0+ 6\left[(n-1)+(n-2)+\ldots+1+0 \right]-n \cdot 8=\\
=6+6 \cdot \frac{n(n-1)}{2}-8n\)

Zatem
  • \(y_n=3n^2-11n+6,\,\,\, n=0,1,2,\ldots\)
Sprawdzenie (które oczywiście niczego nie dowodzi, ale można przez indukcję):

\(\begin{vmatrix}\text{wg. wzoru} && \text{rekurencyjnie} \\
y_0=6&&y_0=6 \\
y_1=3-11+6=-2 && y_1=6+6 \cdot 0-8=-2 \\
y_2=12-22+6=-4&&y_2=-2+6-8=-4\end{vmatrix}\)

Awatar użytkownika
panb
Expert
Expert
Posty: 3147
Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
Lokalizacja: Nowiny Wielkie
Otrzymane podziękowania: 1069 razy
Płeć:

Post autor: panb » 09 maja 2019, 00:28

b) tutaj mamy równanie niejednorodne drugiego stopnia
Najpierw rozwiązujemy równanie jednorodne: \(y_{n+2}-4y_{n+1}+4y_n=0\)
To daje wielomian \(q^2-4q+4=0 \iff (q-2)^2\) czyli rozwiązanie równania jednorodnego ma postać \[y_n=A \cdot 2^n+Bn \cdot 2^n\]

Gdyby to już było wszystko, to spełnione byłoby równanie jednorodne, a my mamy \(y_{n+2}-4y_{n+1}+4y_n=18 \cdot 4^n\)
Zgadujemy, że brakuje jeszcze składnika \(y_1=C \cdot 4^n\). Wstawiając to do naszego równania, otrzymamy
\(C \cdot 4^{n+2}-4C \cdot 4^{n+1}+4C \cdot 4^n=18 \cdot 4^n\\
16C \cdot 4^n-16C \cdot 4^n+4C \cdot 4^n=18 \cdot 4^n \iff C=4,5\)

Teraz dobieramy współczynniki tak, aby przy \(y_n=A \cdot 2^n+Bn \cdot 2^n+4,5 \cdot 4^n\) było \(y_0=4\) i \(y_1=14\). Rozwiązujac nietrudny układ równań dostajemy A=-0,5, B=-1,5

Rozwiązaniem spełniającym wszystkie warunki jest \[y_n=- \frac{1}{2} \cdot 2^n- \frac{3}{2} n \cdot 2^n+4,5 \cdot 4^n=2^{n-1} \left(9 \cdot 2^n-3n-1 \right)\]

peresbmw
Czasem tu bywam
Czasem tu bywam
Posty: 127
Rejestracja: 28 paź 2018, 19:20
Podziękowania: 14 razy
Płeć:

Post autor: peresbmw » 09 maja 2019, 11:52

dziękuje, nie bardzo rozumiem jak to jest robione, pomożesz mi jeszcze z dwoma przykładami?, jak będę miał po dwa rozwiązane to może już rozgryzę to
a)\(y_{n+1}+y_n=4n-6 ~~~~y_0=6\)
b) \(y_{n+2}-4y_{n+1}+3y_n=4 ~~~~ y_0=2, y_1=6\)

Awatar użytkownika
panb
Expert
Expert
Posty: 3147
Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
Lokalizacja: Nowiny Wielkie
Otrzymane podziękowania: 1069 razy
Płeć:

Re:

Post autor: panb » 10 maja 2019, 14:18

peresbmw pisze:dziękuje, nie bardzo rozumiem jak to jest robione, pomożesz mi jeszcze z dwoma przykładami?, jak będę miał po dwa rozwiązane to może już rozgryzę to
a)\(y_{n+1}+y_n=4n-6 ~~~~y_0=6\)
b) \(y_{n+2}-4y_{n+1}+3y_n=4 ~~~~ y_0=2, y_1=6\)
Czego nie rozumiesz?
Wydaje się, że te dwa przykłady są bardzo podobne do tych przeze mnie rozwiązanych.
Twoje stwierdzenie "jak będę miał po dwa rozwiązane to może już rozgryzę to", to taki chwyt marketingowy, co?
To się samo nie zrozumie, trzeba przeanalizować rozwiązanie. Masz ten komfort, że możesz zapytać skąd coś się wzięło.
Pewnie nie zdajesz sobie sprawy (bo i skąd), że to dużo dłubania i nawet podziękować ci się nie chce kliknięciem, a jesteś stałym bywalcem.

peresbmw
Czasem tu bywam
Czasem tu bywam
Posty: 127
Rejestracja: 28 paź 2018, 19:20
Podziękowania: 14 razy
Płeć:

Post autor: peresbmw » 11 maja 2019, 18:38

skąd bierzemy w podpunkcie b że \(y_ 1=c*4^n\)?

Awatar użytkownika
panb
Expert
Expert
Posty: 3147
Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
Lokalizacja: Nowiny Wielkie
Otrzymane podziękowania: 1069 razy
Płeć:

Post autor: panb » 11 maja 2019, 19:53

Ponieważ wynik ma postać \(18 \cdot 4^n\), więc przewidujemy, że ten "dodatek" powinien być postaci \(c \cdot 4^n\)

peresbmw
Czasem tu bywam
Czasem tu bywam
Posty: 127
Rejestracja: 28 paź 2018, 19:20
Podziękowania: 14 razy
Płeć:

Post autor: peresbmw » 11 maja 2019, 19:55

b) \(y_{n+2}-4y_{n+1}+3y_n=4 ~~~~ y_0=2, y_1=6\)
to w tym przypadku będzie 4C?

Awatar użytkownika
panb
Expert
Expert
Posty: 3147
Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
Lokalizacja: Nowiny Wielkie
Otrzymane podziękowania: 1069 razy
Płeć:

Post autor: panb » 11 maja 2019, 20:02

Tak by należało przypuszczać, ale ... wtedy ciąg \(y_n\) jest stały i dostajemy \(4c-16c+12c=4 \iff 0=4\).
W takich przypadkach modyfikujemy przewidywanie: \(y_n=4Cn\)