Znaleźć rozwiązanie szczególne równania spełniające podane warunki:
a) \(y_{n+1}-y_n=6n-8, y_0=6\)
b)\(y_{n+2}-4y_{n+1}+4y_n=18*4^n, y_0=4, y_1=14\)
Znaleźć rozwiązanie szczególne równania spełniające podane w
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
- panb
- Expert
- Posty: 5122
- Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
- Lokalizacja: Nowiny Wielkie
- Podziękowania: 19 razy
- Otrzymane podziękowania: 2053 razy
- Płeć:
a) pewnie jest na to jakaś wyrafinowana metoda, ale ja to tak bym robił
\(y_n=y_{n-1}+6(n-1)-8=y_{n-2}+6(n-2)-8+6(n-1)-8=y_{n-2}+6 \left[ (n-2)+(n-1)\right] -2 \cdot 8=\\
=y_{n-3}+6 \left[(n-1)+(n-2)+(n-3) \right] -3 \cdot 8=\ldots =y_0+ 6\left[(n-1)+(n-2)+\ldots+1+0 \right]-n \cdot 8=\\
=6+6 \cdot \frac{n(n-1)}{2}-8n\)
Zatem
\(\begin{vmatrix}\text{wg. wzoru} && \text{rekurencyjnie} \\
y_0=6&&y_0=6 \\
y_1=3-11+6=-2 && y_1=6+6 \cdot 0-8=-2 \\
y_2=12-22+6=-4&&y_2=-2+6-8=-4\end{vmatrix}\)
\(y_n=y_{n-1}+6(n-1)-8=y_{n-2}+6(n-2)-8+6(n-1)-8=y_{n-2}+6 \left[ (n-2)+(n-1)\right] -2 \cdot 8=\\
=y_{n-3}+6 \left[(n-1)+(n-2)+(n-3) \right] -3 \cdot 8=\ldots =y_0+ 6\left[(n-1)+(n-2)+\ldots+1+0 \right]-n \cdot 8=\\
=6+6 \cdot \frac{n(n-1)}{2}-8n\)
Zatem
- \(y_n=3n^2-11n+6,\,\,\, n=0,1,2,\ldots\)
\(\begin{vmatrix}\text{wg. wzoru} && \text{rekurencyjnie} \\
y_0=6&&y_0=6 \\
y_1=3-11+6=-2 && y_1=6+6 \cdot 0-8=-2 \\
y_2=12-22+6=-4&&y_2=-2+6-8=-4\end{vmatrix}\)
- panb
- Expert
- Posty: 5122
- Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
- Lokalizacja: Nowiny Wielkie
- Podziękowania: 19 razy
- Otrzymane podziękowania: 2053 razy
- Płeć:
b) tutaj mamy równanie niejednorodne drugiego stopnia
Najpierw rozwiązujemy równanie jednorodne: \(y_{n+2}-4y_{n+1}+4y_n=0\)
To daje wielomian \(q^2-4q+4=0 \iff (q-2)^2\) czyli rozwiązanie równania jednorodnego ma postać \[y_n=A \cdot 2^n+Bn \cdot 2^n\]
Gdyby to już było wszystko, to spełnione byłoby równanie jednorodne, a my mamy \(y_{n+2}-4y_{n+1}+4y_n=18 \cdot 4^n\)
Zgadujemy, że brakuje jeszcze składnika \(y_1=C \cdot 4^n\). Wstawiając to do naszego równania, otrzymamy
\(C \cdot 4^{n+2}-4C \cdot 4^{n+1}+4C \cdot 4^n=18 \cdot 4^n\\
16C \cdot 4^n-16C \cdot 4^n+4C \cdot 4^n=18 \cdot 4^n \iff C=4,5\)
Teraz dobieramy współczynniki tak, aby przy \(y_n=A \cdot 2^n+Bn \cdot 2^n+4,5 \cdot 4^n\) było \(y_0=4\) i \(y_1=14\). Rozwiązujac nietrudny układ równań dostajemy A=-0,5, B=-1,5
Rozwiązaniem spełniającym wszystkie warunki jest \[y_n=- \frac{1}{2} \cdot 2^n- \frac{3}{2} n \cdot 2^n+4,5 \cdot 4^n=2^{n-1} \left(9 \cdot 2^n-3n-1 \right)\]
Najpierw rozwiązujemy równanie jednorodne: \(y_{n+2}-4y_{n+1}+4y_n=0\)
To daje wielomian \(q^2-4q+4=0 \iff (q-2)^2\) czyli rozwiązanie równania jednorodnego ma postać \[y_n=A \cdot 2^n+Bn \cdot 2^n\]
Gdyby to już było wszystko, to spełnione byłoby równanie jednorodne, a my mamy \(y_{n+2}-4y_{n+1}+4y_n=18 \cdot 4^n\)
Zgadujemy, że brakuje jeszcze składnika \(y_1=C \cdot 4^n\). Wstawiając to do naszego równania, otrzymamy
\(C \cdot 4^{n+2}-4C \cdot 4^{n+1}+4C \cdot 4^n=18 \cdot 4^n\\
16C \cdot 4^n-16C \cdot 4^n+4C \cdot 4^n=18 \cdot 4^n \iff C=4,5\)
Teraz dobieramy współczynniki tak, aby przy \(y_n=A \cdot 2^n+Bn \cdot 2^n+4,5 \cdot 4^n\) było \(y_0=4\) i \(y_1=14\). Rozwiązujac nietrudny układ równań dostajemy A=-0,5, B=-1,5
Rozwiązaniem spełniającym wszystkie warunki jest \[y_n=- \frac{1}{2} \cdot 2^n- \frac{3}{2} n \cdot 2^n+4,5 \cdot 4^n=2^{n-1} \left(9 \cdot 2^n-3n-1 \right)\]
- panb
- Expert
- Posty: 5122
- Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
- Lokalizacja: Nowiny Wielkie
- Podziękowania: 19 razy
- Otrzymane podziękowania: 2053 razy
- Płeć:
Re:
Czego nie rozumiesz?peresbmw pisze:dziękuje, nie bardzo rozumiem jak to jest robione, pomożesz mi jeszcze z dwoma przykładami?, jak będę miał po dwa rozwiązane to może już rozgryzę to
a)\(y_{n+1}+y_n=4n-6 ~~~~y_0=6\)
b) \(y_{n+2}-4y_{n+1}+3y_n=4 ~~~~ y_0=2, y_1=6\)
Wydaje się, że te dwa przykłady są bardzo podobne do tych przeze mnie rozwiązanych.
Twoje stwierdzenie "jak będę miał po dwa rozwiązane to może już rozgryzę to", to taki chwyt marketingowy, co?
To się samo nie zrozumie, trzeba przeanalizować rozwiązanie. Masz ten komfort, że możesz zapytać skąd coś się wzięło.
Pewnie nie zdajesz sobie sprawy (bo i skąd), że to dużo dłubania i nawet podziękować ci się nie chce kliknięciem, a jesteś stałym bywalcem.