równania

[peresbmw]

Znaleźć rozwiązanie szczególne równania spełniające podane warunki
a) \(y'-y= \frac{e^x}{2x-1} , y(0)=7\)
b)\(y"+y=4sinx, y(0)=7, y( \frac{ \pi }{2})=13\)

Proszę o pomoc w rozpisaniu tych zadań bo kompletnie nie wiem jak tego typu zdania się robi

[radagast]

Znaleźć rozwiązanie szczególne równania spełniające podane warunki
a) \(y'-y= \frac{e^x}{2x-1} , y(0)=7\)

\(y'-y= 0\)
\(y'= y\)
\(y=Ce^x\)
\(y=C(x)e^x\)
\(y'=C'(x)e^x+C(x)e^x\)
\(C'(x)e^x+C(x)e^x-C(x)e^x= \frac{e^x}{2x-1}\)
\(C'(x)e^x= \frac{e^x}{2x-1}\)
\(C'(x)= \frac{1}{2x-1}\)
\(C'(x)= \frac{1}{2} \frac{2}{2x-1}\)
\(C(x)= \frac{1}{2} \int \frac{2}{2x-1}dx\)
\(C(x)= \frac{1}{2} \ln|2x-1|+D\)
\(C(x)= \ln \sqrt {|2x-1|}+D\)

\(y= \left(\ln \sqrt {|2x-1|}+D \right) e^x\)
\(y(0)=7 \So \left(\ln \sqrt {1}+D \right)=7 \So D=7\)
ODP: \(y= \left(\ln \sqrt {|2x-1|}+7 \right) e^x\)

[peresbmw]

nie rozumiem skąd się wzięło \(y=Ce^x\)

[radagast]

nie rozumiem skąd się wzięło \(y=Ce^x\)

\(y'=y\)
\(\frac{dy}{dx} =y\)
\(\int_{}^{} \frac{dy}{y} = \int_{}^{} dx\)
\(\ln y=x+E\)
\(y=e^{x+E}\)
\(y=Ce^{x}\)

Ale warto pamiętać, że jedyną funkcją równą swojej pochodnej jest \(y=Ce^x\).

[peresbmw]

ok dziękuję a pomożesz mi z podpunktem b?

[panb]

Znaleźć rozwiązanie szczególne równania spełniające podane warunki
b)\(y"+y=4sinx, y(0)=7, y( \frac{ \pi }{2})=13\)
Proszę o pomoc w rozpisaniu tych zadań bo kompletnie nie wiem jak tego typu zdania się robi

Najpierw rozwiązujemy równanie jednorodne, tzn. \(y''+y=0\)
Równanie charakterystyczne dla tego równania różniczkowego to \(r^2+1=0 \iff r=0 \pm 1i\), więc jego rozwiązaniem jest \(y_0=A \sin x+B \cos x\) - łatwo sprawdzisz, że \(y''_0+y_0=0\)

Teraz metodą przewidywania (patrz notatki z wykładu) przewidujemy, że aby wyszło nie zero tylko \(4 \sin x\), trzeba do policzonej funkcji \(y_0\) dodać funkcję \(y_s=x(C \cos x+D \sin x)\) z takimi współczynnikami C, D, że \(y''_s+y_s=4 \sin x\)

Łatwo policzysz, że \(y''_s+y_s=2D \cos x-2C \sin x \equiv 4\sin x \iff C=-2, \,\, D=0\), więc \(y_s=-2x\cos x\).

Szukana funkcja \(y=y_0+y_s=A\sin x+B\cos x-2x\cos x\)

Mam nadzieję, że potrafisz uwzględnić warunki brzegowe i w ten sposób znaleźć A i B.

P.S. Fajnie jakbyś tu napisał ile ci wyszło, dla kogoś kto będzie rozwiązywał podobne albo takie samo zadanie.

[peresbmw]

niestety nie było mnie na tych zajęciach i kompletnie nie wiem o co chodzi w tych równaniach różniczkowych i nie wiem jak mam to doliczyć

[panb]

No, nie wierzę!

• Za x wstawiasz 0 i ma wyjść 7
  za x wstawiasz \(\pi/2\) i ma wyjść 13