Obliczyć pola części powierzchni z=f(x,y) odciętych podanymi

[LuckyLuck]

Obliczyć pola części powierzchni z=f(x,y) odciętych podanymi powierzchniami
a)\(f(x,y)= \sqrt{16-x^2-y^2} , z=1, z=2\)
b)\(f(x,y)= \frac{1}{2}(x^2+y^2), x^2+y^2=8\)

[panb]

Wzór: \(|S|=\iint_D \sqrt{1+ \left( \frac{ \partial f}{ \partial x} \right)^2+ \left( \frac{ \partial f}{ \partial y} \right)^2}dxdy\)
a) \(\frac{ \partial f}{ \partial x}=- \frac{x}{ \sqrt{16-x^2-y^2} },\,\,\, \frac{ \partial f}{ \partial y}=- \frac{y}{ \sqrt{16-x^2-y^2} }\), więc \(\sqrt{1+ \left( \frac{ \partial f}{ \partial x} \right)^2+ \left( \frac{ \partial f}{ \partial y} \right)^2}= \frac{4}{ \sqrt{ 16-x^2-y^2 } }\)

Ilustracja do zadania

fig1.png (68.87 KiB) Przejrzano 994 razy

Teraz obszar D: \(1\le \sqrt{16-x^2-y^2}\le2\)
\(\sqrt{16-x^2-y^2}=1 \So x^2+y^2=15\\
\sqrt{16-x^2-y^2}=2 \So x^2+y^2=12\)
Przechodząc na współrzędne biegunowe, otrzymamy: \(\sqrt{12}\le r \le \sqrt{15} ,\,\,\, 0\le \varphi \le 2\pi\) i \[|S|= \int_{0}^{2\pi}d\varphi \int_{ \sqrt{12} }^{ \sqrt{15} } \frac{4rdr}{ \sqrt{16-r^2} }=\ldots=8\pi\]

[panb]

b)Wzór: \(|S|=\iint_D \sqrt{1+ \left( \frac{ \partial f}{ \partial x} \right)^2+ \left( \frac{ \partial f}{ \partial y} \right)^2}dxdy\)
b) \(\frac{ \partial f}{ \partial x}=x,\,\,\, \frac{ \partial f}{ \partial y}=y\), więc \(\sqrt{1+ \left( \frac{ \partial f}{ \partial x} \right)^2+ \left( \frac{ \partial f}{ \partial y} \right)^2}= \sqrt{} 1+x^2+y^2\)

Ilustracja do zadania

fig2.png (62.09 KiB) Przejrzano 992 razy

Teraz obszar D: \(z= \frac{1}{2}(x^2+y^2) \wedge x^2+y^2=8 \So z=4\)

Przechodząc na współrzędne biegunowe, otrzymamy: \(0\le r \le 4 ,\,\,\, 0\le \varphi \le 2\pi\) i \[|S|= \int_{0}^{2\pi}d\varphi \int_{ 0 }^{ 4 } \sqrt{1+r^2}rdr =\ldots= \frac{2}{3} \pi \left( 17 \sqrt{17}-1 \right)\]