Całkę podwójną zamień na całki literowane

[LuckyLuck]

Całkę podwójną \(\int_{}^{} \int_{}^{} f(x,y)dxdy\) zamień na całki literowane , jeżeli obszar D ograniczony jest krzywymi o podanych równaniach:
a) \(xy=6,x+y=7;\)
b) \(x-y^2, x= \frac{y^2}{2} +1\)

[panb]

Najlepiej, jeśli się da, sporządzić wykresy.
a)

ilustracja do podpunktu a)

ilustracja1.png (7.27 KiB) Przejrzano 991 razy

Teraz: \[\iint_D f(x,y)dxdy= \int_{1}^{6} \left( \int_{ \frac{6}{x} }^{7-x} f(x,y) dy\right)dx\]

[panb]

b) zakładam (lekko wkurzony), że miało być \(x-y^2=0\)

ilustracja do podpunktu b)

ilustracja2.png (22.11 KiB) Przejrzano 989 razy

Tym razem lepiej spojrzeć na te wykresy "z perspektywy" osi Oy. Rozwiązując proste równanie dostajemy \(y= \pm \sqrt{2}\)
jako współrzędne igrekowe punktów przecięcia wykresów i całkę z zadania możemy teraz zapisać tak \[\iint_D f(x,y)dxdy= \int_{- \sqrt{2} }^{ \sqrt{2} } \left( \int_{y^2}^{ \frac{y^2}{2}+1 } f(x,y)dx \right)dy\] Jeśli chcesz poćwiczyć, to zapisz całkę z podpunktu a) patrząc z perspektywy osi Oy, bo myślę, że o to w tych zadaniach chodziło, żeby umieć wybrać odpowiednią "perspektywę", która często ukrywa się po nazwą obszar normalny.