Całkowanie funkcji trygonometrycznych

[alanowakk]

a) \(\int_{}^{} \frac{sin2x}{cos^2x}xdx\)

b) \(\int_{}^{} \frac{dx}{4+3tgx}\)

[panb]

Sprawdź podpunkt a). Tam na pewno ma być ...xdx

[panb]

b) \(\int \frac{dx}{4+3 \tg x} =\int \left( \frac{1}{4+3 \tg x} \cdot \frac{ \frac{1}{\cos^2x} }{ \tg ^2x+1}\right) dx= \begin{vmatrix}\text{podstawienie }\\t= \tg x\\ dt= \frac{dx}{\cos^2x} \end{vmatrix}=\int \frac{dt}{(4+3t)(t^2+1)}\)

To już funkcja wymierna i ... rozkład na ułamki proste : \(\frac{1}{(4+3t)(t^2+1)}= \frac{9}{25(3t+4)} - \frac{3t-4}{25(t^2+1)}\). W konsekwencji \[\int \frac{dt}{(4+3t)(t^2+1)}= \frac{9}{25} \int \frac{dt}{3t+4}- \frac{1}{25}\int \frac{3t-4}{t^2+1}dt= \frac{9}{25} \int \frac{dt}{3t+4}- \frac{3}{25}\int \frac{tdt}{t^2+1}+ \frac{4}{25}\int \frac{dt}{t^2+1}\] Tu już chyba dasz radę, co?

[alanowakk]

niestety tak w podpunkcie a jest xdx

[panb]

ale podpunkt b) jest załatwiony, czyż nie?

[alanowakk]

tak, tak dziękuję , co z podpunktem a?

[radagast]

\(\int \frac{\sin 2x}{\cos^2x}xdx=\int \frac{2\sin x\cos x}{\cos^2x}xdx=2 \int x\tg x dx\)
a taką całkę znalazłam w tablicach:
\(\int x\tg x dx= \frac{x^3}{3} +\frac{x^5}{15} +\frac{2x^7}{105}+ \frac{17x^9}{1052835}+...+\frac{2^{2n}(2^{2n}-1)B_nx^{2n+1}}{(2n+1)!}\)
przy czym \(B_n\) są to liczby Bernoullie'go)