Jak obliczyć długość wykresu funkcji x^2

[geokris]

Prosiłbym o pomoc w obliczeniu długości wykresu funkcji x^2 w przedziale od 0 do 3.

[eresh]

\(y=x^2\\
y'(x)=2x\\
L=\int_0^3\sqrt{1+(2x)^2}dx\\
L=\int_0^3\sqrt{1+4x^2}dx\)

[geokris]

Właśnie do tego momentu doszedłem i nie wiem co dalej.

[eresh]

\(\int\sqrt{1+4x^2}dx=\int\frac{1+4x^2}{\sqrt{1+4x^2}}dx=\int\frac{dx}{\sqrt{1+4x^2}}+\int\frac{x^2dx}{\sqrt{1+4x^2}}\)
drugą całkę policzysz przez części

[geokris]

Myślę i myślę i nie wiem co dalej

[panb]

To już nie myśl.
\(\int \sqrt{1+4x^2}dx= \begin{bmatrix} \text{podstawienie} \\ x= \frac{ \tg t}{2} \So \sqrt{1+4x^2}= \sqrt{1+ \tg ^t}= \frac{1}{ \cos t}\\ dx= \frac{dt}{2 \cos ^2t} \end{bmatrix}= \frac{1}{2} \int \frac{dt}{ \cos ^3t}\)

Ładnie wytłumaczony sposób obliczenia tej całki znajdziesz tutaj.

Ostatecznie po powrocie z podstawienia otrzymasz: \(\int \sqrt{1+4x^2}dx= \frac{1}{2} \sqrt{1+4x^2}+ \frac{1}{4} \log { \left( \sqrt{1+4x^2}+2x\right) } +C\)