Strona 1 z 1
Oblicz granice dwóch zmiennych
: 14 kwie 2019, 20:21
autor: egi
Jak poradzić sobie z cosinusami?
a) \(\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{1-\cos(x^2+y^2)}{(x^2+y^2)^2}\)
b) \(\lim_{(x,y)\to(0,0)} (x^2+y^2)*\cos\frac{1}{x*y}\)
c) \(\lim_{(x,y)\to(0,0)} x^2*\cos(\frac{1}{x^4+y^4})\)
Re: Oblicz granice dwóch zmiennych
: 14 kwie 2019, 21:32
autor: radagast
egi pisze:
a) \(\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{1-\cos(x^2+y^2)}{(x^2+y^2)^2}\)
\(\Lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{1-\cos(x^2+y^2)}{(x^2+y^2)^2}= \Lim_{t\to 0 } \frac{1-\cos t}{t^2}= \Lim_{t\to 0 } \frac{1-\cos^2 t}{t^2(1+\cos t)}= \Lim_{t\to 0 } \frac{\sin^2 t}{t^2(1+\cos t)}= \frac{1}{2}\)
Re: Oblicz granice dwóch zmiennych
: 14 kwie 2019, 21:41
autor: radagast
egi pisze:Jak poradzić sobie z cosinusami?
b) \(\lim_{(x,y)\to(0,0)} (x^2+y^2)*\cos\frac{1}{x*y}\)
\(-(x^2+y^2) \le (x^2+y^2)*\cos\frac{1}{x*y} \le (x^2+y^2)\)
tymczasem
\(\Lim_{(x,y)\to(0,0)} -(x^2+y^2)=0=\Lim_{(x,y)\to(0,0)} (x^2+y^2)\)
zatem, na podstawie twierdzenia o trzech ciągach ,
\(\Lim_{(x,y)\to(0,0)} (x^2+y^2)*\cos\frac{1}{x*y}=0\)
: 14 kwie 2019, 21:41
autor: radagast
c) identycznie jak b)