Obliczyć długość łuku
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Obliczyć długość łuku
Obliczyć długość łuku krzywej K danej równaniem
K: \(x(t)= \frac{t^6}{3}\), \(y(t)=2- \frac{t^4}{4}\) , \(0 \le x \le \sqrt[4]{ 20 }\)
K: \(x(t)= \frac{t^6}{3}\), \(y(t)=2- \frac{t^4}{4}\) , \(0 \le x \le \sqrt[4]{ 20 }\)
- Młodociany całkowicz
- Często tu bywam
- Posty: 170
- Rejestracja: 07 kwie 2019, 20:35
- Podziękowania: 3 razy
- Otrzymane podziękowania: 39 razy
Ponieważ \(0 \le x \le \sqrt[4]{20}\),
\(-\sqrt[24]{1620} \le t \le \sqrt[24]{1620}\)
Mamy:
\(\frac{dx}{dt} = 2t^5\\ \frac{dy}{dt} = -t^3\)
A zatem długość będzie równa
\(\int_{-\sqrt[24]{1620}}^{\sqrt[24]{1620}} \sqrt{4t^{10} + t^6}dt\)
Liczymy całkę nieoznaczoną:
\(\int \sqrt{4t^10+t^6}dt = \int t^3\sqrt{4t^4+1}dt = \begin{bmatrix}u = 4t^4 + 1\\dt = \frac{du}{16t^3}\end{bmatrix} = \\ \frac{1}{16}\int\sqrt{u} = \frac{1}{24}\sqrt{(4t^4+1^3)} + C\)
Dalej tylko podstawiamy i otrzymujemy długość łuku.
\(-\sqrt[24]{1620} \le t \le \sqrt[24]{1620}\)
Mamy:
\(\frac{dx}{dt} = 2t^5\\ \frac{dy}{dt} = -t^3\)
A zatem długość będzie równa
\(\int_{-\sqrt[24]{1620}}^{\sqrt[24]{1620}} \sqrt{4t^{10} + t^6}dt\)
Liczymy całkę nieoznaczoną:
\(\int \sqrt{4t^10+t^6}dt = \int t^3\sqrt{4t^4+1}dt = \begin{bmatrix}u = 4t^4 + 1\\dt = \frac{du}{16t^3}\end{bmatrix} = \\ \frac{1}{16}\int\sqrt{u} = \frac{1}{24}\sqrt{(4t^4+1^3)} + C\)
Dalej tylko podstawiamy i otrzymujemy długość łuku.
Ostatnio zmieniony 08 kwie 2019, 16:40 przez Młodociany całkowicz, łącznie zmieniany 1 raz.
- panb
- Expert
- Posty: 5122
- Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
- Lokalizacja: Nowiny Wielkie
- Podziękowania: 19 razy
- Otrzymane podziękowania: 2053 razy
- Płeć:
Re: Obliczyć długość łuku
Sprawdź, czy to nie powinno być \(0 \le t \le \sqrt[4]{ 20 }\)enta pisze:Obliczyć długość łuku krzywej K danej równaniem
K: \(x(t)= \frac{t^6}{3}\), \(y(t)=2- \frac{t^4}{4}\) , \(0 \le x \le \sqrt[4]{ 20 }\)
-
- Expert
- Posty: 6268
- Rejestracja: 04 lip 2014, 14:55
- Podziękowania: 83 razy
- Otrzymane podziękowania: 1523 razy
- Płeć:
Re:
to jest błąd przecież r-nia są parametryczne, włącz myślenieenta pisze:w poleceniu jest x
Pomoc w rozwiązywaniu zadań z fizyki, opracowanie statystyczne wyników "laborek", przygotowanie do klasówki, kolokwium, matury z matematyki i fizyki itd.
mailto: korki_fizyka@tlen.pl
mailto: korki_fizyka@tlen.pl
- Młodociany całkowicz
- Często tu bywam
- Posty: 170
- Rejestracja: 07 kwie 2019, 20:35
- Podziękowania: 3 razy
- Otrzymane podziękowania: 39 razy
Re: Obliczyć długość łuku
Tak, czy owak nie powinno chyba wychodzić 0. Może to są dwie całki od zera. Zmieszałeś mnie i to nie na żarty.
-
- Expert
- Posty: 6268
- Rejestracja: 04 lip 2014, 14:55
- Podziękowania: 83 razy
- Otrzymane podziękowania: 1523 razy
- Płeć:
no masz rację , to już nie są żarty tylko poważne studia
Pomoc w rozwiązywaniu zadań z fizyki, opracowanie statystyczne wyników "laborek", przygotowanie do klasówki, kolokwium, matury z matematyki i fizyki itd.
mailto: korki_fizyka@tlen.pl
mailto: korki_fizyka@tlen.pl
- Młodociany całkowicz
- Często tu bywam
- Posty: 170
- Rejestracja: 07 kwie 2019, 20:35
- Podziękowania: 3 razy
- Otrzymane podziękowania: 39 razy
Re: Obliczyć długość łuku
Myślę, że powinny być dwie całki od zera, bo dla t ujemnych t wzrastają przeciwnie do x-ów.
- Młodociany całkowicz
- Często tu bywam
- Posty: 170
- Rejestracja: 07 kwie 2019, 20:35
- Podziękowania: 3 razy
- Otrzymane podziękowania: 39 razy
Re: Obliczyć długość łuku
Słuchajcie, panowie! Myślałem nad tym i wiem, gdzie popełniłem błąd po wyciągnięciu przed pierwiastek t^3 powinno być pod wartością bezwzględną. Ot cały problem.
- panb
- Expert
- Posty: 5122
- Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
- Lokalizacja: Nowiny Wielkie
- Podziękowania: 19 razy
- Otrzymane podziękowania: 2053 razy
- Płeć:
No czego tu nie rozumiesz?
\[\int \sqrt{4t^{10}+t^6}dt= \frac{ \left(4t^4+1 \right)\sqrt{4t^{10}+t^6} }{24t^3} +C= \frac{(4t^4+1) \sqrt{4t^4+1} }{24}+C\]
Wersja 1.
- \(x(t)= \frac{t^6}{3},\quad y(t)=2- \frac{t^4}{4},\quad 0\le t \le \sqrt[4]{206}\)
\(L= \int_{0}^{ \sqrt[4]{20} } \sqrt{4t^{10}+t^6}dt= \frac{91}{3}\)
- \(x(t)= \frac{t^6}{3},\quad y(t)=2- \frac{t^4}{4},\quad 0\le x \le \sqrt[4]{206} \iff - \sqrt[24]{1620}\le t \le \sqrt[24]{1620}\)
\(L= \int_{ - \sqrt[24]{1620}}^{ - \sqrt[24]{1620}}\sqrt{4t^{10}+t^6}dt \approx 4,62\)
Ta liczba jest z wolframu, bo obliczanie tego to kosmos. Ale ZERO nie wychodzi.