Obliczyć długość łuku

Granice, pochodne, całki, szeregi
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
enta
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 366
Rejestracja: 18 mar 2018, 14:33
Podziękowania: 98 razy
Płeć:

Obliczyć długość łuku

Post autor: enta » 08 kwie 2019, 16:01

Obliczyć długość łuku krzywej K danej równaniem
K: \(x(t)= \frac{t^6}{3}\), \(y(t)=2- \frac{t^4}{4}\) , \(0 \le x \le \sqrt[4]{ 20 }\)

Młodociany całkowicz
Rozkręcam się
Rozkręcam się
Posty: 57
Rejestracja: 07 kwie 2019, 20:35
Otrzymane podziękowania: 19 razy

Post autor: Młodociany całkowicz » 08 kwie 2019, 16:37

Ponieważ \(0 \le x \le \sqrt[4]{20}\),
\(-\sqrt[24]{1620} \le t \le \sqrt[24]{1620}\)
Mamy:
\(\frac{dx}{dt} = 2t^5\\ \frac{dy}{dt} = -t^3\)
A zatem długość będzie równa
\(\int_{-\sqrt[24]{1620}}^{\sqrt[24]{1620}} \sqrt{4t^{10} + t^6}dt\)
Liczymy całkę nieoznaczoną:
\(\int \sqrt{4t^10+t^6}dt = \int t^3\sqrt{4t^4+1}dt = \begin{bmatrix}u = 4t^4 + 1\\dt = \frac{du}{16t^3}\end{bmatrix} = \\ \frac{1}{16}\int\sqrt{u} = \frac{1}{24}\sqrt{(4t^4+1^3)} + C\)
Dalej tylko podstawiamy i otrzymujemy długość łuku.
Ostatnio zmieniony 08 kwie 2019, 16:40 przez Młodociany całkowicz, łącznie zmieniany 1 raz.

enta
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 366
Rejestracja: 18 mar 2018, 14:33
Podziękowania: 98 razy
Płeć:

Post autor: enta » 08 kwie 2019, 19:10

po podstawieniu za wyszło mi 0 czy to możliwe?

Awatar użytkownika
panb
Expert
Expert
Posty: 3138
Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
Lokalizacja: Nowiny Wielkie
Otrzymane podziękowania: 1066 razy
Płeć:

Re: Obliczyć długość łuku

Post autor: panb » 08 kwie 2019, 19:31

enta pisze:Obliczyć długość łuku krzywej K danej równaniem
K: \(x(t)= \frac{t^6}{3}\), \(y(t)=2- \frac{t^4}{4}\) , \(0 \le x \le \sqrt[4]{ 20 }\)
Sprawdź, czy to nie powinno być \(0 \le t \le \sqrt[4]{ 20 }\)

enta
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 366
Rejestracja: 18 mar 2018, 14:33
Podziękowania: 98 razy
Płeć:

Post autor: enta » 08 kwie 2019, 19:53

w poleceniu jest x

korki_fizyka
Expert
Expert
Posty: 3706
Rejestracja: 04 lip 2014, 14:55
Otrzymane podziękowania: 417 razy
Płeć:

Re:

Post autor: korki_fizyka » 08 kwie 2019, 20:24

enta pisze:w poleceniu jest x
to jest błąd przecież r-nia są parametryczne, włącz myślenie :)
Pomoc w rozwiązywaniu zadań z fizyki, opracowanie statystyczne wyników "laborek", przygotowanie do klasówki, kolokwium, matury z matematyki i fizyki itd.
mailto: korki_fizyka@tlen.pl

Młodociany całkowicz
Rozkręcam się
Rozkręcam się
Posty: 57
Rejestracja: 07 kwie 2019, 20:35
Otrzymane podziękowania: 19 razy

Re: Obliczyć długość łuku

Post autor: Młodociany całkowicz » 08 kwie 2019, 22:17

Tak, czy owak nie powinno chyba wychodzić 0. Może to są dwie całki od zera. Zmieszałeś mnie i to nie na żarty.

korki_fizyka
Expert
Expert
Posty: 3706
Rejestracja: 04 lip 2014, 14:55
Otrzymane podziękowania: 417 razy
Płeć:

Post autor: korki_fizyka » 08 kwie 2019, 23:37

no masz rację , to już nie są żarty tylko poważne studia :)
Pomoc w rozwiązywaniu zadań z fizyki, opracowanie statystyczne wyników "laborek", przygotowanie do klasówki, kolokwium, matury z matematyki i fizyki itd.
mailto: korki_fizyka@tlen.pl

Młodociany całkowicz
Rozkręcam się
Rozkręcam się
Posty: 57
Rejestracja: 07 kwie 2019, 20:35
Otrzymane podziękowania: 19 razy

Re: Obliczyć długość łuku

Post autor: Młodociany całkowicz » 09 kwie 2019, 09:33

Myślę, że powinny być dwie całki od zera, bo dla t ujemnych t wzrastają przeciwnie do x-ów.

Awatar użytkownika
panb
Expert
Expert
Posty: 3138
Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
Lokalizacja: Nowiny Wielkie
Otrzymane podziękowania: 1066 razy
Płeć:

Post autor: panb » 09 kwie 2019, 11:50

Jeżeli powinno być (jak należy przypuszczać) \(0 \le t \le \sqrt[4]{20}\), to problem zera znika. Wychodzi ładny wynik i ... świat znowu staje na nogach.

Młodociany całkowicz
Rozkręcam się
Rozkręcam się
Posty: 57
Rejestracja: 07 kwie 2019, 20:35
Otrzymane podziękowania: 19 razy

Re: Obliczyć długość łuku

Post autor: Młodociany całkowicz » 09 kwie 2019, 13:41

Słuchajcie, panowie! Myślałem nad tym i wiem, gdzie popełniłem błąd po wyciągnięciu przed pierwiastek t^3 powinno być pod wartością bezwzględną. Ot cały problem.

enta
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 366
Rejestracja: 18 mar 2018, 14:33
Podziękowania: 98 razy
Płeć:

Post autor: enta » 09 kwie 2019, 15:37

nie bardzo rozumiem to jak teraz będzie ta całka wyglądać?

enta
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 366
Rejestracja: 18 mar 2018, 14:33
Podziękowania: 98 razy
Płeć:

Post autor: enta » 09 kwie 2019, 22:50

proszę o pomoc

Awatar użytkownika
panb
Expert
Expert
Posty: 3138
Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
Lokalizacja: Nowiny Wielkie
Otrzymane podziękowania: 1066 razy
Płeć:

Post autor: panb » 09 kwie 2019, 23:16

No czego tu nie rozumiesz? \[\int \sqrt{4t^{10}+t^6}dt= \frac{ \left(4t^4+1 \right)\sqrt{4t^{10}+t^6} }{24t^3} +C= \frac{(4t^4+1) \sqrt{4t^4+1} }{24}+C\] Wersja 1.
  • \(x(t)= \frac{t^6}{3},\quad y(t)=2- \frac{t^4}{4},\quad 0\le t \le \sqrt[4]{206}\)
    \(L= \int_{0}^{ \sqrt[4]{20} } \sqrt{4t^{10}+t^6}dt= \frac{91}{3}\)
Wersja 2.
  • \(x(t)= \frac{t^6}{3},\quad y(t)=2- \frac{t^4}{4},\quad 0\le x \le \sqrt[4]{206} \iff - \sqrt[24]{1620}\le t \le \sqrt[24]{1620}\)
    \(L= \int_{ - \sqrt[24]{1620}}^{ - \sqrt[24]{1620}}\sqrt{4t^{10}+t^6}dt \approx 4,62\)
    Ta liczba jest z wolframu, bo obliczanie tego to kosmos. Ale ZERO nie wychodzi.

enta
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 366
Rejestracja: 18 mar 2018, 14:33
Podziękowania: 98 razy
Płeć:

Post autor: enta » 09 kwie 2019, 23:23

a skąd się wziął mianownik jeszcze z x? mi wychodzi bez mianownika