Mam podane takie wzory:
\(y''+ay'+by=0\)
\(y_o=y(x)=c_1y_1+c_2y_2\)
\(y(x)=c_1(x)y_1+c_2(x)y_2\)
\(c_1'(x) = \frac{-y_2f(x)}{W}\)
\(c_2'(x)= \frac{y_1f(x)}{W}\)
gdzie
\(W=\begin{vmatrix} y_1 && y_2\\
y_1' && y_2' \end{vmatrix}\)
Co zrobić w sytuacji, gdy \(W=0\)?
Metoda uzmienniania stałych
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
kerajs
- Fachowiec
- Posty: 2963
- Rejestracja: 14 lis 2016, 14:38
- Podziękowania: 33 razy
- Otrzymane podziękowania: 1303 razy
- Płeć:
Można sprawdzić czy taka sytuacja jest możliwa. Dla równania różniczkowego II stopnia o współczynnikach stałych są trzy możliwe typy całek ogólnych zależne od znaku wyróżnika równania charakterystycznego.
1) \(\Delta >0 \ \ \ \So \ \ y_o=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2 x} \ \wedge r_1 \neq r_2\)
\(W= \begin{vmatrix} e^{r_1x} & e^{r_2 x} \\ r_1e^{r_1x} & r_2e^{r_2 x} \end{vmatrix}= e^{r_1x} e^{r_2 x}(r_2-r_1) \neq 0\)
2) \(\Delta =0 \ \ \ \So \ \ y_o=C_1e^{rx}+C_2xe^{r x}\)
\(W= \begin{vmatrix} e^{rx} & xe^{r x} \\ re^{rx} & e^{r x}(1+rx) \end{vmatrix}= e^{rx} e^{r x}(1+rx-rx)=e^{2rx} \neq 0\)
3) \(\Delta <0 \ \ \ \So \ \ y_o=C_1e^{ax}\sin bx+C_2e^{a x}\cos bx\)
\(W= \begin{vmatrix} e^{ax}\sin bx & e^{a x}\cos bx \\ e^{ax}(a\sin bx+b\cos bx) & e^{ax}(a \cos bx-b\sin bx) \end{vmatrix}=\\= e^{ax} e^{a x}(a\sin bx\cos bx-b\sin^2 bx-a\sin bx\cos bx-b\cos^2 bx) = -be^{2ax} \neq 0\)
1) \(\Delta >0 \ \ \ \So \ \ y_o=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2 x} \ \wedge r_1 \neq r_2\)
\(W= \begin{vmatrix} e^{r_1x} & e^{r_2 x} \\ r_1e^{r_1x} & r_2e^{r_2 x} \end{vmatrix}= e^{r_1x} e^{r_2 x}(r_2-r_1) \neq 0\)
2) \(\Delta =0 \ \ \ \So \ \ y_o=C_1e^{rx}+C_2xe^{r x}\)
\(W= \begin{vmatrix} e^{rx} & xe^{r x} \\ re^{rx} & e^{r x}(1+rx) \end{vmatrix}= e^{rx} e^{r x}(1+rx-rx)=e^{2rx} \neq 0\)
3) \(\Delta <0 \ \ \ \So \ \ y_o=C_1e^{ax}\sin bx+C_2e^{a x}\cos bx\)
\(W= \begin{vmatrix} e^{ax}\sin bx & e^{a x}\cos bx \\ e^{ax}(a\sin bx+b\cos bx) & e^{ax}(a \cos bx-b\sin bx) \end{vmatrix}=\\= e^{ax} e^{a x}(a\sin bx\cos bx-b\sin^2 bx-a\sin bx\cos bx-b\cos^2 bx) = -be^{2ax} \neq 0\)