\(\int_{}^{} \frac{x-1}{x^2+2x+7}dx\)
całka nieoznaczona
dziękuje z góry
wyznaczyć całkę z funkcji wymiernej
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
kerajs
- Fachowiec
- Posty: 2963
- Rejestracja: 14 lis 2016, 14:38
- Podziękowania: 33 razy
- Otrzymane podziękowania: 1303 razy
- Płeć:
Re: wyznaczyć całkę z funkcji wymiernej
\(\int_{}^{} \frac{x-1}{x^2+2x+7}dx=\int_{}^{} \frac{x-1}{(x+1)^2+6}dx= \left[ t=x+1\right] =\int_{}^{} \frac{t-2}{t^2+6}dx=\int_{}^{} \frac{t}{t^2+6}dt-2\int_{}^{} \frac{1}{t^2+6}dt=...\)
\(\int_{}^{} \frac{t}{t^2+6}dt= \left[ k=t^2+6\right] = \int_{}^{} \frac{ \frac{1}{2}dk }{k}= \frac{1}{2} \ln |k|+C=\frac{1}{2} \ln |t^2+6|+C =\frac{1}{2} \ln |x^2+2x+7|+C\)
\(\int_{}^{} \frac{1}{t^2+6}dt= \frac{1}{6} \int_{}^{} \frac{1}{( \frac{t}{ \sqrt{6} } )^2+1}dt=\left[m=\frac{t}{ \sqrt{6} } \right] =\frac{1}{6} \int_{}^{} \frac{\sqrt{6} dm}{m^2+1}= \\= \frac{1}{\sqrt{6} }\arctg m +K=\frac{1}{\sqrt{6} }\arctg \frac{t}{ \sqrt{6} } +K=\frac{1}{\sqrt{6} }\arctg \frac{x+1}{ \sqrt{6} } +K\)
\(\int_{}^{} \frac{t}{t^2+6}dt= \left[ k=t^2+6\right] = \int_{}^{} \frac{ \frac{1}{2}dk }{k}= \frac{1}{2} \ln |k|+C=\frac{1}{2} \ln |t^2+6|+C =\frac{1}{2} \ln |x^2+2x+7|+C\)
\(\int_{}^{} \frac{1}{t^2+6}dt= \frac{1}{6} \int_{}^{} \frac{1}{( \frac{t}{ \sqrt{6} } )^2+1}dt=\left[m=\frac{t}{ \sqrt{6} } \right] =\frac{1}{6} \int_{}^{} \frac{\sqrt{6} dm}{m^2+1}= \\= \frac{1}{\sqrt{6} }\arctg m +K=\frac{1}{\sqrt{6} }\arctg \frac{t}{ \sqrt{6} } +K=\frac{1}{\sqrt{6} }\arctg \frac{x+1}{ \sqrt{6} } +K\)