Uzasadnij zbieżność szeregu

[lolipop692]

Uzasadnij zbieżność szeregu \(\sum_{n=2}^{ \infty } (-1)^n \frac{ln(n+1)}{n}\)

[radagast]

Kryterium Leibniza. Trzeba tylko pokazać , że \(\frac{\ln(n+1)}{n} \ge \frac{\ln(n+2)}{n+1}\) . Nie jest łatwo ale wychodzi .

[lolipop692]

Dziękuję tylko nie bardzo wiem jak to udowodnić

[radagast]

\(\frac{\ln(n+1)}{n} \ge \frac{\ln(n+2)}{n+1} \iff \\
(n+1)\ln (n+1) \ge n\ln (n+2) \iff\\
\ln (n+1)^{n+1} \ge \ln (n+2)^n \iff\\
(n+1)^{n+1} \ge (n+2)^n \iff\\
\frac{(n+1)^{n+1}}{n^{n+1}} \ge \frac{(n+2)^n}{n^{n+1}} \iff\\
{(1+ \frac{1}{n}) ^{n+1}}\ge \frac{1}{n} \frac{(n+2)^n}{n^{n}}\)
lewa strona dąży do e, prawa do 0. No to od pewnego miejsca nierówność zachodzi
Może to można jakoś prościej ale nie wiem jak

[lolipop692]

Ślicznie dziękuję