Równania różniczkowe niejednorodne

[Bnsn1399]

Mam takie notatki dotyczące równań różniczkowych jednorodnych:
\(y'' + ay' + by = 0\)
\(y = e^{rx}\)
\(y' = re^{rx}\)
\(y'' = r^2e^{rx}\)
\(r^2+ar+b=0\)
\(\Delta >0\) \(-> r_1,r_2\)
\(y(x) = c_1e^{r_1x}+c_2e^{r_2x}\)
\(\Delta =0\) \(-> r-2krotny\)
\(y(x) = c_1e^{rx}+c_2e^{rx}\)
\(\Delta <0\) \(-> r_1=a+bi, r_2=a-bi\)
\(y(x) = e^{ax}(c_1cosbx+c_2sinbx)\)
A takie dla równań różniczkowych niejednorodnych:
\(y''+ay'+by=f(x)\)
\(y(x)=y_o+y_s\)
\(y_o\) \(-> f(x) = 0\) \(-> y''+ay'+by=0\)
\(y_s\)
\(f(x) = W_n(x)\)
\(-> ys = a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_nx^n\)
\(-> ys = x^k(a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_nx^n)\)
I tu pojawia się moje pytanie. Mam zapisane, że aby \(ys\) przyjmowało tą drugą postać, czyli
\(-> ys = x^k(a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_nx^n)\)
to \(r<0\) jest pierwiastkiem k-krotnym wielomianu charakterystycznego.
Czy ten warunek jest poprawny? \(r\) powinno być mniejsze od 0? Bo rozumiem, że to dotyczy drugiego przypadku przy wyznaczaniu wielomianu charakterystycznego, gdy \(\Delta =0\)

[kerajs]

\(\Delta =0\) \(-> r-2krotny\)
\(y(x) = c_1e^{rx}+c_2e^{rx}\)

\(y(x) = c_1e^{rx}+c_2xe^{rx}\)

\(f(x) = W_n(x)\)
\(-> ys = a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_nx^n\)
\(-> ys = x^k(a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_nx^n)\)
I tu pojawia się moje pytanie. Mam zapisane, że aby \(ys\) przyjmowało tą drugą postać, czyli
\(-> ys = x^k(a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_nx^n)\)
to \(r<0\) jest pierwiastkiem k-krotnym wielomianu charakterystycznego.
Czy ten warunek jest poprawny? \(r\) powinno być mniejsze od 0? Bo rozumiem, że to dotyczy drugiego przypadku przy wyznaczaniu wielomianu charakterystycznego, gdy \(\Delta =0\)

Jak rozumiem piszesz o metodzie przewidywania całki szczególnej równania niejednorodnego gdy f(x) jest wielomianem \(f(x)=W_n(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_nx^n\).
1. Jeśli żaden z pierwiastków równania charakterystycznego równania jednorodnego II stopnia nie jest zerem to przewidujesz wielomian takiego samego stopnia:
\(y_s=G_n(x)=b_0+b_1x+b_2x^2+...+b_nx^n\)
2. Jeśli jeden z pierwiastków równania charakterystycznego równania jednorodnego II stopnia jest zerem to wzmacniasz przewidywanie o x:
\(y_s=xG_n(x)=x(b_0+b_1x+b_2x^2+...+b_nx^n)\)
3. Jeśli dwa z pierwiastków równania charakterystycznego równania jednorodnego II stopnia są zerami to wzmacniasz przewidywanie o \(x^2\):
\(y_s=x^2G_n(x)=x^2(b_0+b_1x+b_2x^2+...+b_nx^n)\)

PS
Zachodzi sytuacja 2) gdy równanie ma postać \(y''+ay'=f(x) \ \ \wedge \ \ a \neq 0\)
Zachodzi sytuacja 3) gdy równanie ma postać \(y''=f(x) \ \ \wedge \ \ a \neq 0\)
Tu w obu przypadkach przez odpowiednie podstawienia można obniżyć stopień równania różniczkowego

[Bnsn1399]

A jak mam coś takiego: \(y''-y'=e^x+e^{3x}\) i pierwiastki równania charakterystycznego wychodzą takie: \(r_1=0, r_2=1\) to całka szczególna powinna wyglądać tak \(ys=xAe^x + Be^{3x}\) ? Bo mam wynik taki, że powinno być \(ys=Ae^x+Be^{3x}\) i nie rozumiem dlaczego, skoro \(r= \alpha\), gdzie \(f(x)=e^{ \alpha x}\) jest pierwiastkiem jednokrotnym wielomianu charakterystycznego. W notatkach mam, że w takim przypadku \(ys=x^kAe^{ \alpha x}\)

[kerajs]

Podstawowym problemem jest to, że rozważając równanie II stopnia jednocześnie uczą Was metody przewidywania dla równania N tego stopnia o stałych współczynnikach. Nagle pojawiają się pierwiastki k-krotne podczas gdy z omawiane równanie może mieć ich zaledwie dwa.

Twój przykład.
Rozwiązanie (całka ogólna) równania jednorodnego to :
\(y_o=C_1+C_2e^{x}\)
Ze względu na fragment niejednorodny przewidujesz (całkę szczególną):
\(y_s=Ae^x+Be^{3x}\)
Ale przecież Twój fragment całki szczególnej \(Ae^{x}\) występuje już w rozwiązaniu ogólnym jako \(C_2e^{x}\) . Dlatego musisz wzmocnić przewidywanie tego fragmentu przez pomnożenie przez x.
Stąd przewidywanie: \(y_s=Axe^x+Be^{3x}\)

[Bnsn1399]

Mam jeszcze jeden problem. W zadaniach pojawiają się polecenia takie jak: "Znaleźć rozwiązanie ogólne", "Znaleźć całkę szczególną", "Znaleźć całkę ogólną". Mieliśmy podane tylko czym jest całka szczególna. Pojawiała się przy równaniach różniczkowych niejednorodnych, gdzie \(y(x) = y_o+y_s\) i była oznaczana jako \(y_o\). Natomiast w zadaniu, gdzie mam taką całkę obliczyć, \(f(x)=0\), np. \(y''+25y=0\), więc jak w takim wypadku mam obliczyć całkę szczególną?

[Bnsn1399]

Jest również zadanie z poleceniem "Znaleźć całkę ogólną" i takie równanie wygląda np. tak \(y''-7y'+12y=12x^2\) Zastanawia mnie, po co w ogóle tutaj jest jakieś \(f(x)\) skoro obliczenie całki ogólnej sprowadza się tylko do przyrównania lewej strony do 0. I nie wiem, czy w takim zadaniu tak po prostu jest to podane, czy trzeba policzyć coś więcej.

[kerajs]

Mam jeszcze jeden problem. W zadaniach pojawiają się polecenia takie jak: "Znaleźć rozwiązanie ogólne", "Znaleźć całkę szczególną", "Znaleźć całkę ogólną". Mieliśmy podane tylko czym jest całka szczególna. Pojawiała się przy równaniach różniczkowych niejednorodnych, gdzie \(y(x) = y_o+y_s\) i była oznaczana jako \(y_o\). Natomiast w zadaniu, gdzie mam taką całkę obliczyć, \(f(x)=0\), np. \(y''+25y=0\), więc jak w takim wypadku mam obliczyć całkę szczególną?

Całka ogólna to rozwiązanie równania jednorodnego.
W równaniu powyższym to: \(y_o=C_1\sin 5x+C_2\cos 5x\)
Ponieważ równanie \(y''+25y=0\) jest jednorodne to nie ma całki szczególnej (na upartego można napisać \(y_s=0\) .

Jest również zadanie z poleceniem "Znaleźć całkę ogólną" i takie równanie wygląda np. tak \(y''-7y'+12y=12x^2\) Zastanawia mnie, po co w ogóle tutaj jest jakieś \(f(x)\) skoro obliczenie całki ogólnej sprowadza się tylko do przyrównania lewej strony do 0. I nie wiem, czy w takim zadaniu tak po prostu jest to podane, czy trzeba policzyć coś więcej.

\(y_o=C_1e^{3x}+C_2e^{4x}\)
Nic więcej nie liczysz.
Może zadanie ma sprawdzić czy rozróżniasz całkę szczególną od ogólnej?

[Bnsn1399]

Pojawiała się przy równaniach różniczkowych niejednorodnych, gdzie \(y(x) = y_o+y_s\) i była oznaczana jako \(y_o\).

Tutaj oczywiście napisałam źle, miało być \(y_s\).
Dzięki wielkie za pomoc!