Funkcje oraz jej pochodna rozwinąć w szeregi Maclaurina
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Funkcje oraz jej pochodna rozwinąć w szeregi Maclaurina
Funkcje \(f(x)= \frac{1}{4x^2+1}\) oraz jej pochodną\(f'(x\)) rozwinąć w szeregi Maclaurina i podać promienie ich zbieżności. Nastepnie obliczyć sumę szeregu \(\sum_{ n=1}^{ \infty } (-1)^n \frac{n}{4^n}\)
-
korki_fizyka
- Expert
- Posty: 6268
- Rejestracja: 04 lip 2014, 14:55
- Podziękowania: 83 razy
- Otrzymane podziękowania: 1523 razy
- Płeć:
Pomoc w rozwiązywaniu zadań z fizyki, opracowanie statystyczne wyników "laborek", przygotowanie do klasówki, kolokwium, matury z matematyki i fizyki itd.
mailto: korki_fizyka@tlen.pl
mailto: korki_fizyka@tlen.pl
-
panb
- Expert
- Posty: 5122
- Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
- Lokalizacja: Nowiny Wielkie
- Podziękowania: 19 razy
- Otrzymane podziękowania: 2053 razy
- Płeć:
Ja do tego inaczej podszedłem.
\(\frac{1}{4x^2+1}= \frac{1}{1-(-4x^2)}\). Jeśli \(|-4x^2|=|4x^2|<1 \iff |x|< \frac{1}{2}\), to wzór ten przedstawia sumę szeregu geometrycznego, w którym \(a_1=1,\,\, q=-4x^2\). Zatem \(\frac{1}{4x^2+1}= \sum_{n=0}^{ \infty } (-4x^2)^n= \sum_{n=0}^{ \infty } (-4)^nx^{2n}= \left(1-4x^2+16x^4-64x^6+\ldots \right)\)
Jest twierdzenie, które mówi o jednoznaczności rozwinięcia funkcji w szereg. Wynika z niego, że \(f^{(n)}(0)=c_nn!\).
Masz policzoną druga pochodną, sprawdźmy, to:
\(2n=2 \So n=1 \So c_1=-4\), więc \(f''(0)=-4 \cdot 2!=-8\) - Policz wg twojego wzoru \(f''(0)\) i zobaczysz, że się zgadza.
Ponieważ nie ma nieparzystych składników szeregu, więc pochodne nieparzystych rzędów w zerze muszą być równe zero, co oznacza, że źle policzyłeś swoją pochodną trzeciego rzędu - sprawdź.
\(\frac{1}{4x^2+1}= \frac{1}{1-(-4x^2)}\). Jeśli \(|-4x^2|=|4x^2|<1 \iff |x|< \frac{1}{2}\), to wzór ten przedstawia sumę szeregu geometrycznego, w którym \(a_1=1,\,\, q=-4x^2\). Zatem \(\frac{1}{4x^2+1}= \sum_{n=0}^{ \infty } (-4x^2)^n= \sum_{n=0}^{ \infty } (-4)^nx^{2n}= \left(1-4x^2+16x^4-64x^6+\ldots \right)\)
Jest twierdzenie, które mówi o jednoznaczności rozwinięcia funkcji w szereg. Wynika z niego, że \(f^{(n)}(0)=c_nn!\).
Masz policzoną druga pochodną, sprawdźmy, to:
\(2n=2 \So n=1 \So c_1=-4\), więc \(f''(0)=-4 \cdot 2!=-8\) - Policz wg twojego wzoru \(f''(0)\) i zobaczysz, że się zgadza.
Ponieważ nie ma nieparzystych składników szeregu, więc pochodne nieparzystych rzędów w zerze muszą być równe zero, co oznacza, że źle policzyłeś swoją pochodną trzeciego rzędu - sprawdź.
-
panb
- Expert
- Posty: 5122
- Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
- Lokalizacja: Nowiny Wielkie
- Podziękowania: 19 razy
- Otrzymane podziękowania: 2053 razy
- Płeć:
Teraz ta suma: \(\sum_{n=1}^{ \infty } (-1)^n \frac{n}{4^n}\)
Rozważmy szereg potęgowy \(\sum_{n=0}^{ \infty } \left( - \frac{1}{4}x \right)^n\). Jest on zbieżny dla |x|<4 i wtedy \(\sum_{n=0}^{ \infty } \left( - \frac{1}{4}x \right)^n= \frac{1}{1+ \frac{1}{4}x }= \frac{4}{x+4}=f(x)\)
Zauważmy, że \(\left( \sum_{n=0}^{ \infty } \left( - \frac{1}{4}x \right)^n\right)'= \sum_{n=1}^{ \infty } (-1)^n \frac{n}{4^n}x^{n-1}\) i dla x=1 jest to szereg z zadania. Wobec tego
\(\sum_{n=1}^{ \infty } (-1)^n \frac{n}{4^n}=f'(1),\quad f'(x)=- \frac{4}{(x+4)^2} \So f'(1)=- \frac{4}{25}\) i ostatecznie
Rozważmy szereg potęgowy \(\sum_{n=0}^{ \infty } \left( - \frac{1}{4}x \right)^n\). Jest on zbieżny dla |x|<4 i wtedy \(\sum_{n=0}^{ \infty } \left( - \frac{1}{4}x \right)^n= \frac{1}{1+ \frac{1}{4}x }= \frac{4}{x+4}=f(x)\)
Zauważmy, że \(\left( \sum_{n=0}^{ \infty } \left( - \frac{1}{4}x \right)^n\right)'= \sum_{n=1}^{ \infty } (-1)^n \frac{n}{4^n}x^{n-1}\) i dla x=1 jest to szereg z zadania. Wobec tego
\(\sum_{n=1}^{ \infty } (-1)^n \frac{n}{4^n}=f'(1),\quad f'(x)=- \frac{4}{(x+4)^2} \So f'(1)=- \frac{4}{25}\) i ostatecznie
- Odpowiedź: \(\sum_{n=1}^{ \infty } (-1)^n \frac{n}{4^n}=- \frac{4}{25}\)