Rozwinięcia Maclaurina funkcji elementarnych

[egi]

Korzystając z rozwinięć Maclaurina funkcji elementarnych obliczyć pochodne:

1) \(f^{(50)} (0) , f(x)=x^2*cosx\)

2) \(f^{(2015)} (0) , f(x)=xe^{-x}\)

3) \(f^{(11)} (0) , f(x)=\frac{x^3}{1+x^2}\)

Proszę o jakieś dodatkowe komentarze przy rozwiązywaniu <prosi>

[panb]

1. \(\cos x= \sum_{n=0}^{ \infty }(-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!}\\
   x^2\cos x= \sum_{n=0}^{ \infty } \frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2(n+1)}=\sum_{m=0}^{ \infty } c_m \cdot x^m \\
   2(n+1)=50 \So n=24 \wedge c_{50}= \frac{(-1)^{24}}{48!} = \frac{1}{48!} \\
   f^{(n)}(0)=c_n \cdot n! \iff f^{(50)}=c_{50} \cdot 50!= \frac{50!}{48!} =50 \cdot 49=2450\)

[panb]

• 2. \(e^x= \sum_{n=0}^{ \infty } \frac{x^n}{n!}\\
  xe^{-x}= \sum_{n=0}^{ \infty } \frac{x \cdot (-x)^n}{n!}= \sum_{n=0}^{ \infty } (-1)^n \frac{x^{n+1}}{n!}= \sum_{n=0}^{ \infty } \frac{(-1)^n}{n!}x^{n+1}\\
  n+1=2015 \So n=2014 \wedge c_{2015}= \frac{(-1)^{2014}}{2014!}= \frac{1}{2014!}\\
  f^{(2015)}(0)=c_{2015} \cdot 2015!= \frac{2015!}{2014!}=2015\)