Znajdź szeregi Maclaurina podanych funkcji

[egi]

Znaleźć szeregi Maclaurina podanych funkcji i określić przedziały ich zbieżności:

a) \(\frac{5}{1+2x}\)

b) \(sin \frac{x}{2}\)

c) \(\frac{x^3}{16-x^2}\)

d) \(\cos^2x\)

Mogę liczyć na pomoc z wyjaśnieniem?

[panb]

a) \(\frac{5}{1+2x}= \frac{5}{1-(-2x)}\) jest dla \(|x|< \frac{1}{2}\) suma szeregu geometrycznego z \(a_1=5,\,\,\, q=-2x\)
Zatem \(\frac{5}{1+2x}=5-10x+20x^2-40x^3+\ldots=5 \sum_{n=0}^{ \infty } (-2x)^n=5 \sum_{n=0}^{ \infty } (-2)^nx^n\)

[panb]

b) \(\sin x= \sum_{n=0}^{ \infty } \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1}\\
sin \frac{x}{2} =\sum_{n=0}^{ \infty }\frac{(-1)^n}{(2n+1)!} \left( \frac{x}{2} \right)^{2n+1}=\sum_{n=0}^{ \infty }\frac{(-1)^n}{2^{2n+1}(2n+1)!}x^{2n+1}\)

[panb]

c) \(\frac{x^3}{16-x^2}= \frac{1}{16} \cdot \frac{x^3}{1- \frac{x^2}{16} }\) jest dla |x|<4 sumą szeregu geometrycznego z \(a_1= \frac{x^3}{16},\,\,\, q= \frac{x^2}{16}\)
Zatem
\(\frac{x^3}{16-x^2}= \frac{x^3}{16}+ \frac{x^5}{16^2}+ \frac{x^7}{16^3} +\ldots= \sum_{n=0}^{ \infty } \frac{x^{2n+3}}{16^{n+1}}\)

[panb]

d) \(\cos2x=2\cos^2x-1 \So \cos^2x= \frac{1}{2} \left(1+\cos2x \right)\)

Korzystając z rozwinięcia \(\cos x= \sum_{n=0}^{ \infty } \left(-1 \right) ^n \frac{x^{2n}}{(2n)!}\) oraz powyższego wzoru i postępując podobnie jak w zadaniu b) dostaniesz wzór na \(\cos^2x\) - to już zrób osobiście.

[panb]

Czy to była "pomoc z wyjaśnieniem", o którą ci chodziło?
To może "Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij Thank icon"