forum.zadania.info

1.
a) \(\sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{2^{\ln n}}\)
b) \(\sum_{n=2}^{ \infty } \frac{n^3( \sqrt{2}+(-1)^n)^n}{3^n}\)
c) \(\sum_{n=1}^{ \infty } 2^n \sin \frac{ \pi }{3^n}\)

2.
\(\sum_{n=1}^{ \infty } (-1)^n \frac{3^{n-1}-(-2)^{n+1}}{4^{n-1}}\) (wynik powinien być \(\frac{52}{7}\))

1.
a) \(\sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{2^{\ln n}}=\sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{n^{\ln 2}}\)
\(\ln 2<1\)

b) \(\sum_{n=2}^{ \infty } \frac{n^3( \sqrt{2}+(-1)^n)^n}{3^n}<\sum_{n=2}^{ \infty } \frac{n^3( \sqrt{2}+1)^n}{3^n}\)
\(\Lim_{x\to \infty } \sqrt[n]{\frac{n^3( \sqrt{2}+1)^n}{3^n}} =\frac{ \sqrt{2}+1}{3}<1\)

c) \(\sum_{n=1}^{ \infty } 2^n \sin \frac{ \pi }{3^n}<\sum_{n=1}^{ \infty } 2^n \frac{ \pi }{3^n}= \pi \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{ 2^n }{3^n}= \pi \cdot \frac{ \frac{2}{3} }{1-\frac{2}{3} }\)

2.
\(\sum_{n=1}^{ \infty } (-1)^n \frac{3^{n-1}-(-2)^{n+1}}{4^{n-1}}=-\sum_{n=1}^{ \infty } (\frac{-3}{4})^{n-1} +4\sum_{n=1}^{ \infty } (\frac{1}{2})^{n-1}=\\= \frac{-1}{1- \frac{9}{16} }+\frac{ \frac{3}{4} }{1- \frac{9}{16} } +4 \frac{1}{1- \frac{1}{2} } =...\)

Mogę prosić o wyjaśnienie dlaczego to jest sobie równe?

kerajs pisze: \(\sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{2^{\ln n}}=\sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{n^{\ln 2}}\)

zaqws pisze:Mogę prosić o wyjaśnienie dlaczego to jest sobie równe?

kerajs pisze: \(\sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{2^{\ln n}}=\sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{n^{\ln 2}}\)

\(\frac{1}{2^{\ln n}}= \frac{1}{n^{\ln 2}}\), bo
\(2^{\ln n}= n^{\ln 2}\),bo
\(\log_2(2^{\ln n})= \log_2(n^{\ln 2})\),bo
\({\ln n} \cdot \log_22= {\ln 2}\log_2n\),bo
\(\frac{{\ln n} }{{\ln 2}} = \frac{\log_2n}{\log_22}\) (prawda, zgodnie ze wzorem na zamianę podstaw logarytmu )